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1、第十章曲线积分与曲面积分曲线积分一、对弧长的曲线积分例1．计算,其中L为圆周,直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。(07)OyBAxx解：所求积分的曲线可分为三段：线段OA、弧AB、线段OB。线段OA：y=0，0£x£a，，；弧AB：x=acost，y=asint，，，；线段OB：y=x，，，。所以，=。例2．，其中为摆线的一拱，（）(05)解:,原式====例3．计算，其中G为折线ABCD，这里A,B,C,D四点的坐标依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；解：所求
2、积分的曲线可分为三段：线段AB、线段BC、线段CD。线段AB：x=0，y=0，0£z£2，，；线段BC：y=0，z=2，0£x£1，,；线段CD：x=1，z=2，0£y£2，,；所以，=9。二、对坐标的曲线积分曲面积分时候加根号倒例2aayxoAB1．，其中L为圆周(x–a)2+y2=a2(a>0)，及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；解：将圆周ABO：(x–a)2+y2=a2用参数方程表示：（t从0变到p）；x轴上的一线段OA为：y=0，（x从0变到2a）；则：+。8例2．，其
3、中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向饶行)；解：积分曲线L的参数方程为：（t从0变到2p）；则例3．,其中G为有向闭折线ABCA,这里A,B,C三点的坐标依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)；解：由A,B,C三点的坐标可得有向线段AB,BC,CA的参数方程及参数t的变化范围为:t由0变到1；t由0变到1；t由0变到1；则，==–2；==；=；所以，=。三、两类曲线积分之间的联系例.将对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分,其中L为:沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1)。
4、解：由于L的方程为,x从0变到1,则,,故=。四、格林公式例1.利用曲线积分,求星形线x=acos3t，y=asin3t所围成的图形的面积。xoyaa解：画积分曲线如图，则所求面积为A===。例2.设平面曲线取正向，则曲线积分。（06）解：。取：，则8＝＝＝。例2﹡.设平面曲线取逆时针方向，则曲线积分解,.当x2+y2¹0时.在L内作逆时针方向的e小圆周l:x=ecosq,y=esinq(0£q£2p),在以L和l为边界的闭区域De上利用格林公式得,即.因此例3.证明：，其中是正向一周。(07)解：因曲线为
5、封闭曲线，,满足Green公式条件，从而直接应用Green公式有：原式＝＝＝＝例4.设L为圆周，取顺时针方向，则（B）（05）(A)；(B)；(C)；(D)例5.计算曲线积分，其中L是由点A（a，0）到点O（0，0）的上半圆周（02）解：这里，得到，由格林公式例6.计算曲线积分，其中C是由的上半圆周由点A（2，0）到点B（0，0）的弧段。（06）解：加补直线段，则与构成封闭曲线的正向，记其所围成区域为。显然，在内具有一阶连续偏导数，由格林公式有：8在上，，因此故五、曲线积分与路径无关的等价条件例1.计算曲线
6、积分，其中L是在圆周上由点O（0，0）到点A（1，1）的一段弧解：这里，得到，故积分与路径无关=例2.验证在整个面内为某一函数的全微分，并求出这样一个。（04）解:这里，则=因为,所以在整个面内为某一函数的全微分.且例3.验证下列曲线积分与路径无关，再求积分值（03）解：P=2xy-y4+3,Q=x2-4xy3,显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数,并且,所以在整个xOy面内积分与路径无关,选取路径为从(1,0)®(1,2)®(2,1)的折线,则.例4.证明曲线积分与路径无关，并计算积分值（05）解
7、：因为，所以积分与路径无关。取路径，8得积分=例5.已知为某二元函数的全微分，则a和b的值分别为(C).（02）(A)–2和2(B)–3和3(C)2和–2(D)3和–3例6．设可微，如果与路径无关，则应满足的条件为（D）；（04）(A)；(B)；(C)；(D)曲面积分一、对面积的曲面积分加根号例1.若为的外侧，且是其外法线向量的方向余弦，则。(07)解：例2.设曲面S是上半球面x2+y2+z2=a2(z³0)，曲面S1是曲面S在第一卦限中的部分，则有(C)。A．；B．；C．；D．。解：函数x,y,xyz在上
8、半球面x2+y2+z2=a2(z³0)上分别关于或具有“奇函数”性质，而上半球面x2+y2+z2=a2(z³0)关于或对称，故、、，而、、。另一方面，由对称性，，故答案C的正确性。例3.计算曲面积分其中为平面在第一卦限中的部分。（06）解：：，显然。＝8例4．,其中曲面S为锥面被柱面x2+y2=2ax所截得的有限部分。解法一：曲面S：在xoy坐标面上的投影区域D为：x2+y2£2ax，=，======。解法二：曲
