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《高数复习题2009.6》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2008 —2009学年度《高等数学》期末考试复习一．向量的运算、方向余弦二．函数的定义域、极限和连续（连续的定义）；1．函数在点处连续是它在该点偏导数存在的：(A)必要而非充分条件；(B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件． 答（D）2．证明极限不存在．[证明]：取不同的直线路径y=kx沿不同的路径极限不同，故由定义二重极限不存在．三．直线与平面的位置关系，空间曲线的切线，空间曲面的切平面；1．在椭圆抛物面上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线解：切平面法向量：n={2x,4y，－1}直线方向向量：s={3,-6,2}n//
2、s， 所求切点：（-3/4,3/4,27/16）2． 求曲线在t=1处的切线及法平面方程．解：t=1时x=1/2,y=2,z=1切线方程：法平面方程：3． 求曲面x2－2y2+2z2=1上过点（1,1,1）的切平面方程．解：F=x2－2y2+2z2–1Fx=2xFy=－4yFz=4z切平面方程为：2（x–1）－4(y-1)+4(z-1)=04．求曲面x2+4y-z2+5=0垂直于直线的切平面方程．解：设F(x,y,z)=x2+4y-z2+5Fx=2x,Fy=4,Fz=-2z解得切点：x0=2y0=-2z0=-1切平面2x+2y+z+1=05．求曲面在点处的
3、切平面和法线方程．对应的切平面法向量切平面方程或法线方程6．求正数，使曲面与椭球面在某点有相同的切平面，并写出切点的坐标．解：设在点处相切则即由此及，故相应点是四．方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数求导和全微分1．求函数在点处沿方向的方向导数，其中O为坐标原点．解：Gradu={2x,2y,4z};方向导数为：2．求函数在（1，1）点沿方向的方向导数．3．求在点P（1,2,3）沿分别与坐标轴正向成30○ ，45○，60○角的方向上的方向导数．解：4．函数由方程所确定，其中具有一阶连续偏导数，求．解：5．设z=(1+xy)x,求dz 解：6．求函数 u=exyz
4、在点P0(1,0,-1)沿方向的方向导数．其中P1的坐标为(2,1,-1)．解： 因 方向导数7． 设u=f(x,y,z),而j(x2，ey，z)=0，y=simx其中f,j具有一阶连续偏导数，且求． 解：由已知=8．设z=z(x,y)由．解：9．求函数在点(1,1,4)处沿曲线在该点切线方向的方向导数．解：在点(1,1,4)处对应的t0=1，切线方向向量｛1,2t,9t²｝t=1=｛1,2,9｝cos=cos=cos= 五．条件极值；1．在圆的部分上找点P，使其到点M(2,1)的距离为最小．解：设所求点最小，条件极值由拉格朗日乘数法设： 解出：2．利用
5、多元函数求极值的方法，求点P（1，2，-1）到直线的距离．设线上一点为，令F=的唯一解故3．利用拉格朗日乘数法，求椭圆抛物面z=x2+2y2到平面x+2y-3z=2的最短距离．解：点到平面的距离取目标函数 条件函数：解出驻点：六．二重积分的计算（直角坐标和极坐标）；1．设是连续函数，改变二次积分的顺序.解:＝2．更换积分次序：3．计算二次积分 解：D：1≤x≤3x-1≤y≤2改变积分顺序，得：0≤y≤2,1≤x≤y+1、4． 计算I=D：y=x+1,y=x/2,y=0,y=1所围成．解：I=5． 利用二重积分求不等式r≤2co
6、sq,r≤1所表达的区域的面积．解法一：利用直角坐标解法二：利用极坐标6． 计算二重积分 其中Ｄ：x2+y2≤1．解：原积分＝7．利用极坐标计算解：yx七．第一类曲线积分，第二类曲线积分，格林公式、积分与路径无关；1．计算曲线积分．式中由极坐标方程所表示的曲线上从到的一段．解： 积分与路径无关，选择沿坐标轴由点(2,0)到(0,1)原积分＝2．设都是具有二阶连续偏导数的二元函数，且使曲线积分与都与积分路径无关．试证：对于函数，恒有．3．计算积分式中L是从点O(0，0)沿曲线y=sinx到点A(π，0)的弧段．八．第一类曲面积分，第二类曲面积分，高斯公
7、式；1．设空间区域由曲面和平面所围，为的表面外侧，求：解：原积分＝2．计算，其中为球面的外侧．解：由高斯公式，原积分＝3．计算其中∑是z=1－x2－y2在xoy面上方的部分曲面的上侧．解：补一平面块∑1：z=0,x2+y2≤1，取下侧，∑和∑1围成立体Ω，由高斯公式4．计算 I＝ ∑：是柱面x2+y2=1被平面z=0,z=3所截得的在第一卦限的部分的前侧．解：I=九．常数项级数的收敛性，绝对收敛和条件收敛十．幂级数的收敛域与和函数1．试求幂函数的收敛域及和函数．解：收敛x=1与x=-1时数项级数一般项不趋于0，故皆发散，收敛区间为(-1,1)．设和函数S(x)=2
8、． 求幂级
