高数复习题解答题详解

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1、三．计算题1．设，而，求、．解2．设，而，求、．解：，．3．设，求．解设，则，当时，，故，4．设求．解设，则，．有，因此，．5．计算，其中为平面，，，所围成的四面体．解原式．6．计算，其中为球面及三个坐标面所围成的在第一象限内的闭区域．解原式．7．计算，其中由球面与抛物面所围成（在抛物面内的那一部分）的闭区域．解柱面坐标下，，所以由，解得因此，原式8．，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．解记则；则于是，9．，其中为曲线，，上相应于从变到的这段弧．解，于是，．10.计算曲线积分，其中是点与点之间的直线段．解直线段的方向向量，则直线为所以参数方程为于是，原式11.计算，其中为圆周上点

2、到点的一段弧．解：直线段：，；直线段：，记与直线段及所围成的闭区域为，则，，………………4分由格林公式，得原式12.计算，其中为球面被平面截出的顶部。解为,，有，则有于是，原式利用对称性，有原式13．计算，其中是：锥面被平面和所截得的部分．解：，有．于是，14．，其中为平面在第一卦限中的部分。解由平面方程有．于是，原式．15.，其中为平面，，，，，所围成的立体的表面的外侧．解：，，，于是，，．由高斯公式，有．16.，其中为平面，，，，，所围成的立体的表面的外侧．解解法一：，，，于是，，．由高斯公式，有．解法二：由对称性有，记在平面，，，，，所在的部分为，，，，，。除，外，其余四片曲面在面

3、上的投影为零，其中，取后侧，取前侧．因此17．求幂级数收敛域及和函数．解．当时，将的值代入级数，可化成发散，当时，同样代入级数，可化成收敛．因此，所求收敛域为．设，两边再对求导，得两边再从到积分，得即有，由于，因此.由于原级数在处也收敛,故.18．求幂级数收敛域及和函数．解．当时，将的值代入级数，可化成，发散，当时，可化成，发散。因此，所求收敛域为．设，两边从0到积分，得，两边求导，得，因此，．四、应用题1．求旋转抛物面与平面之间的最短距离．解设为抛物面上任一点，则到与平面的距离为，即设令，解得根据题意距离的最小值一定存在，且函数有唯一的驻点，故必在点处取得最小值，则距离亦在点处取得最小

4、值，。2．在平面上求一点，使它到，及三条直线的距离平方和最小．解设所求的点为，则令得驻点,而,,,,故点到，及三条直线的距离平方和最小.．3．某厂要用铁板做成一个体积为的无盖长方体箱体，怎样选取长、宽、高才是最省钢板．解设长方体的长、宽、高分别为，，，则表面积。由于（，，）构造函数，有，得，这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得。也就是说，长、宽、高分别为时，才是最省钢板．五、证明题1.证明：在整个平面内是某一函数的全微分，并求．证明记，，由于，所以，存在这样的一个，使2.证明:设，其中为可导函数，证明：．证明　设则，则　故3．证明：

5、曲线积分在整个平面内与路径无关，并计算曲线积分的值．证明因为，有，因此，积分与路径无关．于是，．4.证明：．证明：等式左边积分区域．．