[理学]高数下总复习题解

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1、高等数学（下）总复习题解1.给出下列方程的特解形式，不必解出结果：（1）（2）解.（1）（2）设是的特解,设是的特解,则方程的特解设为:2.求下列方程通解：（1）（2）（3）解（1）原方程整理为：（2）原方程整理为：（3）特征方程：特征根为：∴对应齐次方程的通解为所给方程自由项设是：的一个特解是的一个特解可求得，∴原方程的一个特解为∴原方程的通解为=+3.设可微，且。现已知，x轴，y轴及x轴上经过点的垂线所围成的图形的面积值与曲线在上一段弧长的值相等，求解.由题设，得：求导：记为则有，，通解：，，由，，整理得：4.设z=arctg+ln(x2+y),求dz。解其中5.设Z=(x2y,)

2、有二阶连续偏导数，求6.设=ln求.解原方程变形为：方程两端求x导数,得:∴方程两端求y的导数,得:∴7.求函数z=2x2+y2在点M(1,1)沿y=x的垂线方向的方向导数.解直线的垂线方向可取：，8.求球面x2+y2+z2=9/4与椭球面3x2+(y-1)2+z2=17/4交线上对应于x=1的点处的切线与法平面方程。解当时，设对应的切线的切向量为满足方程：解得：∴过的切线方程：,法平面方程类似可求处的切线，法平面方程。(略)9.证明：曲面()=0上任一点处的切平面过一定点。解设，则过P点的切平面的法向量：整理后,可以取=}切平面:可以看出,点在该切平面上。故结论成立.10.求点P（2

3、，8）到抛物线=4的距离。解不妨设目标函数条件为：作辅助函数解得：，∴解得：∴最小值点为（4，4）∴注：本题中直接要求的距离函数是:与解法中的有相同的极值点，但的表达式更便于数学上的处理，比如求比d的导数要简单些。11.求旋转椭球面x2+y2+=1在第一卦限部分上的点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小。解设所求点为过P的切平面方程为：：切平面在三个坐标轴上的截距分别为:目标函数约束：令：解方程组解得，∴，，所求点为.12.设M为椭球面:上位于一卦限的点，其切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小，求M点。解设，过M的切平面方程为：∴目标函数条件：令：解方程组：(常数)得,

4、将其代入条件方程，解得,当，，时,即M为()13.更换积分顺序：（1）I=（2）I=（3）I=解（1）如图示(图略,下同)（2）如图（3）如图示14.计算二重积分I=D：以（0，0），（1，1）和（0，1）为顶点的三角形。解15.计算二重积分I=解I16计算I=，其中：x2+y2≤z2,x2+y2+z2≤R2,z≥0.解I17.求由曲面z=x2+2y2及z=3-2x2-y2所围立体的体积。解该立体在yoz面的投影如图示，曲面和的交线（消z）在柱面：上∴该立体在xoy面上的投影区域为D：∴=18.将三重积分I=分别用直角坐标、极坐标、球面坐标化为累次积分，其中Ω：x2+y2+z2≤4,z

5、≥。解积分立体在yoz平面上的投影如图示。曲面和的交线（消z）在（柱面）上：∴在xoy平面上的投影区域为∴I19.求球体x2+y2+z2≤R2与x2+y2+z2≤2Rz的公共部分体积.解法1=法2=法320.已知三次积分:I=(1).确定在柱面坐标下和球面坐标系下的三次积分;(2).任选一种计算I值.解积分立体在xoy面和yoz面的投影区域，如图示（1）（2）21.将I=（其中Ω是由z2=x2+y2,z=1所围成的立体）分别表为直角坐标、柱面坐标、球面坐标系下的三次积分。解22.计算I=其中是x2+y2+z2=a2与x=y相交的圆周。解上任一点满足：注：是半径为a的圆。23.计算I=，

6、其中C是以O（0，0）、A（1，0）、B（0，1）为顶点的三角回路。解24.计算I=其中为立体的边界曲面。解如图示,:z=1(,:上25.计算I=，是由z=被x2+y2=2x所截部分。解在xoy平面的投影区域26.求球面在柱面内部的表面积。解球面在xoy面的投影均为且或上，由对称性27用几种不同的方法计算I=，其中C是起点O（0，0），终点为A（2，0）的上半圆周:直接计算法公式：设C的参数方程且起点、终点对应的参数值分别为，则：解法1利用C的坐标方程：，可写出C的参数方程。法2：计算略法3：计算略间接计算法格林公式：注1：当沿着C的正向行进时，区域D在“行者”的左手，取“+”。注2：

7、当C不是闭曲线时，需增加辅助路径；通常选平行于坐标轴的直线段为辅助路径。法4：注3本题中由于因而还可选择以下的间接计算法．准备知识：单连通区域D上有一阶连续偏导数，以下四个结论等价：　　（１）（２）（３）的值与路径无关（只与起、终点有关）。（４）存在，使且法5可设，使且则28.计算I=，其中C是摆线且参数增加的方向为积分路径的方向。解如图增加辅助路径：。则：29计算I=，其中C是以（1，0）为中心，R为半径的圆周（R1），方向取逆时针方向。解注