14级高数A(下)总复习大题

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1、1.求复合函数一、二阶偏导数(1)引入中间变量，将复合函数从外层到内层分解，并写出各层函数(2)画出变量间关系图(3)计算车，找到图上从z到x的所有路径，同一路径相邻项求(偏)导后相乘，不同路径的dx乘积相加⑷抽象函数：注意a.观察抽象函数的变量个数，b.抽象函数(偏)导数的符号表示，c.Z与变量间的复合关系和/相同,d.若/具二阶连续偏导数则f-j=fji,结果小合并化简2.二重积分D(1)直角坐标系：a・判断积分区域类型(X型、Y型)；b.判断是否需要分块积分；c.将区域边界曲线方程改写成y=(PM(X型)或x=0O)(Y型)；d.定积

2、分限X型[0(x)350(x)b(p2(x)d0(刃或Y型,、；e.化为二次积分X型ff{x>y)dy或Y型(⑪

3、7(2皿0005x50(刃JJJJa0(x)c0(刃(2)极坐标系：a.常用于积分区域边界为圆、过原点的直线，被积函数含的情形；b.把二重积分化为极坐标下二重积分J]/w=jj/(rcos^rsin0)VdrdO.DDc.将区域边界方程改写成极坐标方程y)=0^(/){rcos0,rsin0)=0^r=(p(0)形式;00(。)d•定积分限.化为二次积分j/(rcos6>,rsin6>)rdr(X0(0)⑶应用：a.求曲顶柱体

4、体积V=^f^y)dxdy(在D上,/Uj)>0)；Dy=^[f2^y)-f(^y)]dxdy(底部曲面为2*(2)顶部曲面为z”(2)的立体体积);Db.曲面》的面积S=Jj*Jl+(善)2+(务)2dxdy(丫方程z=f(x,y)且E在xOy面上投影Dxy)3.三重积分QZ2(P)f(x,y9z)dz(1)投影法直角坐标：a.将。上下边界曲面方程改写成z=z2(x,y)以及z=zj(x,y)形式;b.Q在xOy面上投影为Iv；c.化为先一后二JJr=Q柱面坐标：常用于被积函数含边界曲面方程含x2+y2(如球面、旋转抛物面、圆锥面、圆

5、柱面等)a.先化为柱坐标下三重积分JJ]7(pcos&,psin&,z)PclpdOdz.b.将Q上Q下边界曲面方程改写成柱坐标方程=z2(x,y)=>z=z2(pcos^,psin6>)=>z=以及z=Z](x,刃=>z=Z](/7cos8,psin&)=>z=f{(p,0)；c.按二重积分极坐标中确定积分限的方法得Dxv:*a<0<(30©⑹d.化为三次积分dPJ/(pcos&,psin&,z)Qa%(&)/](")dz(1)截面法用于被积函数不含且截面Dz的面积易用z表示时。乩由Q的范围确定bba

6、数；c.化为先二后一“寸”⑵厶询二J/⑵血[p询aDzaDz(2)应用：计算空间立体Q体积。Q底部曲面为z=/i(xj),顶部曲面为z=f2(xyy),Q在X。”面上投影为I)*Z2(F)QDxyZ

7、(xj)dz1.格林公式^Pdx+Qdy=LD'(1)注意定理条件：闭曲线L为D的正向边界，P、Q在D上有连续偏导(2)反向弧性质Pdx^Ody=-^Pdx^QdyL~L(3)若L非闭曲线，则添加辅助线(常为平行于坐标轴的有向线段)构造闭曲线。ycLDBOAX添加辅助线段BA:y=0,x:-a^a9dD:L~uBAJPdx+Qdy=-JPdx

8、+Qdy=-(^Pdx+Qdy-JPdx+Ody)L厶一L9莎BADBA(4)性质：线段肋丄x轴，则AB注意判断二重积分能否借助D的面积计算jjkdxdy=ka(5)若D内含奇点yX添加逆吋针圆周/,去掉奇点(0,0),在L和/围成的区域Di应用格林公式注Di的正向边界Pdx+Qdy-Pdx+Qdy一JPdx+Qdy=LuCCCdOdPf^-—)dxdy^Pdx^QdyJJoxuyJUI1.高斯公式^Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJJ话ZQ“(1)注意定理条件：闭曲血S(取外侧)围成Q,P,Q、R在Q上有连续偏导(2)反向曲面性质

9、:JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=-JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy(3)性质:若Lo

10、

11、xOy面，则JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJRdxdy(1)若非闭曲面，则添加有向辅助面(常平行坐标面，必须指定侧)2一］xDxy例如迄开口向下并指定为上侧，则添加辅助面為取下侧,则Zu幼是它们所围成空间闭区域Q边界曲面(外侧)

12、JPdydz+Qdzdx+Rdxdy=件Pdydz+Qdzdx+Rdxdy-JJPdydz+Qdzdx+RdxdyZuE

13、E]譽+斛讐用如一j"嘶z=z(),为Q在xOy面投影）（6）工是闭曲面（外侧

14、），Q内有奇点，添加辅助闭曲面厶（内侧）去掉奇点,工和幼之问的区域为珞，在⑵上应用高斯公式：ff=ff-ff=Hf-ff=ZES]I(Q)£

15、1.函数展开成幕级数（1）求幕级数收