合成因子均同构的有限群.pdf

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1、第4卷第2期吕梁学院学报2014年4月Vo1．4No．2JournalofLtiliangUniversityApr．2014·数学研究·合成因子均同构的有限群王亮亮(吕梁学院数学系，山西离石033000)摘要：本文讨论了合成因子均同构的有限群，并在合成因子个数小于等于7的时候完全刻画了这样的群。关键词：合成因子；自同构群；外自同构群；圈积中图分类号：0152文献标识码：A文章编号：2095—185X(2014)02—0009—02预备知识子为非交换单群的情形。为了决定这样的群，我们著名的Jordan—Holder定理(其具体表达形式要用到著名的Schreier猜想：可参

2、见[1，第三章，定理1．5])告诉我们，一个有限猜想1．1：有限单群的外自同构群可解。群可以唯一地分解成一些合成因子。但反过来，给由于有限非交换单群已经完全分类，这个猜想定了具体的合成因子，却不能唯一决定一个有限群。事实上现在已成为一个定理。例如，所有合成因子为一个2阶循环群和一个3阶下面我们给出本文中要用到的一些基本的概念循环群的有限群既可能同构于一个6阶循环群，也和引理．可能同构于3个元素上的对称群。一般来说，给定定义1．2：设G为群，={1，2，⋯，11,}，为合成因子来决定有限群是非常困难的。但在一些特上的置换群，N=GXGX⋯XG。对于任意的h∈H，殊的情形下，

3、我们仍然可以得到一些有意义的结果。容易验证如下规定的映射(h)是Ⅳ的一个自同本文只考虑所有合成因子都同构的情形，并且假设构：合成因子的个数小于等7。(g1⋯g)叭"=(g1⋯g。)，g∈G，i=1，2，设G为群，我们称群G到群G的保持运算的一⋯，n并且满足Ol(hh)=Ot(h)Ol(h)，任取h，h∈个双射为G的一个自同构。G的所有自同构做成一日，这样OL：日A(iv)是同态，则称J7、，和日关于Ot个群，称为G的自同构群，记为Aut(G)。对于g∈的半直积Ⅳ。c。H为G和的圈积，记作GwrH。G，由0=Ⅱ规定的映射(g)：G—G是G的一引理1．3：设G=T1X×⋯×，

4、其中1，，个自同构，叫做由g诱导的G的内自同构。G的全⋯，是彼此同构的非交换单群，则G的任一非单体内自同构做成Aut(G)的一个正规子群，称为G的位正规子群K均有形状：×Ti×⋯×Ti，1≤i1

5、群z，则G是一个P群。而所有P阶以(gig⋯gx=g～g，x=[gf，]，因为是非交换单下的P群都已经分类一，故我们只需考虑合成因收稿日期：2013—09-07作者简介：王亮亮(1980一)，男，山西柳林人，讲师，研究方向为有限群论。9群，Z()：1，故至少存在一个∈使得f=[gf，证明：由著名的有限单群分类定理可知，500阶]≠1；再由为单群，=，于是K≥g“≥，即以下的非交换单群只有3个，它们分别是阶为60的如果K中有一元素g，使得其在直积分解中的第个A，阶为168的PSL(7)和阶为360的A6。分量gf≠1，则有K≥。从而推出K必有形状Ti×(1)由lJs5J=1

6、20及≤Js5，立知兰5；Ti×⋯×Ti．，其中Tii在分解式中出现的充要条件是(2)考虑TCIA6，由A6<3S6，知nA6，由中有一元素，它的第个分量≠1。是单群，知nA=1或。若71nA=1，则l：6i=ITI，由T是非交换单群，ITII>60，从而稠1．4-[1]设日则)2=l46：Ls6l≥l6：6l1>60矛盾，故TAA6=T，即主要结果≤A6于是lII360，结论成立。定理2．1：设为非交换单群，n为正整数，则Aut()兰A“(T)wrS。定理2．5：设G是一个有限群，它有6个合成因证明：为方便计，我们令G=TI××⋯×，其子，并且这些合成因子均同构于一个非

7、交换单群，中Ti兰T，1≤i≤。我们来证明Aut(G)Aut()其中与A不同构，则G同构于。wrS。显然Aut(T)wrS≤Aut(G)，我们只需证Aut证明：设1=G。qG。⋯G6=G是G的一个(G)≤u(T)wrS。任取ol∈Aut(G)，由引理1．3，可合成群列，则兰T，其中1≤i≤6，由定理2．3知，(ri设兰Ti，其中∈S。令=(1，1，⋯，1；or)∈Aut—l(T)wrS。则兰，1≤≤n。令=一。贝0兰G5兰。令c：C(G)，由定理知，(G)，Ti，1≤i≤n。于是∈Aut(T1)×Aut()×⋯×Aut()<．