邓超 与导群同构的群的某些性质

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1、与导群同构的群的某些性质邓超（闽江学院数学系福建，福州350108）摘要：本文探讨了这样一类群：它同构与某一个群的导群。为了行文方便，文中将这类群称之为可积群，并称这类群具有可积性质，并应用初等群论的方法研究了有限群的这一性质，特别研究了有限循环群，交换群和幂零群的可积性，得到了一些初步的结果。关键字：导群；幂零群；可积性；1．引言及预备知识设为一抽象群，令，称为的换位子。又令，称为的导出群，简称导群。对于任一群来说，若存在群使得和同构，则称群可积，称H为可积群，称为的原扩群，简称原群，并记。任意抽象群显然都有导群，但反过来，每个群是否都可积呢？这就是一个很自然的

2、问题。如果不是，那么当它满足什么条件时，它可积？本文尝试对这一问题进行研究，获得了初步的结果。需要指出的是若一个群可积，那么它的原扩群并不唯一（例如对于单位元群来说，任何交换群都是其原扩群）。注1：本文作者在考虑阶为的群G的同构分类时，发现已有的方法比较烦琐，故考虑新的思路：考虑G导群列，先考虑等情况，而后再用群的扩张理论得到，以此类推，得到G。采取这种方法面临两个困难，第一个困难是什么样的群能在该导群列中出现，即什么样的群能够作为p群的导群，将这一问题推广就得到了群的可积性问题。第二个困难是：由如何得到，即对于可积群G，如何得到其原扩群的问题。如无特别的说明，本

3、文中提到的群均为有限群，用记号表示为的子群，表示为的正规子群，char表示为的特征子群，表示的中心，表示的sylow-群。（其中p为素数）特别提请注意的是若群和群同构，文中将视之为同一个群，即。下面给出导群的若干性质:性质1若，则。性质2若，则。性质3设是群，则。引理1(见文[1，定理III3.11])设为正整数，是阶循环群被阶循环群得扩张。则有如下定义关系：(1)其中参数满足关系式，。(2)反之，对每组满足(2)式得参数，(1)式都确定一个阶循环群被阶阶循环群得扩张。引理2(见文[1，定理IV5.12])设为有限p群，则若循环，亦循环。引理3可积群的直积是可积群

4、。证明：由性质3立得。引理4若群可积，char，则可积。证明：可积，群使得，char，且char，char，，则由性质2得，既可积。2主要结果定理1任意阶循环群皆可积；特别的，循环p群可积。证明：设为阶循环群，我们用霍尔德定理，即引理1构造出的原群。由霍尔德定理的证明过程可知由(1)(2)所确定的群的任何元素都可以表示成。先证这样的群的导群可由生成。则，使得。则，的每个换位子由生成，。下面令(3)则(3)的解必是(2)的解，则显然是(3)的一组解。所以，此时群的阶为（因为），即为阶循环群。所以此时群就是阶循环群的原群。注2：上述定理说明任意阶循环群的原群都可以是一

5、个亚循环群，同时也说明素数阶循环群这类单群是可积的；又由我们熟知的结果，知交错单群可积；这样我们就得到这两大类单群可积。事实上，对于p阶循环群来说，非交换阶群也可以作为其原群。略证如下：设，则,(否则若则循环，则交换与非交换矛盾)，故，所以是为阶为p的循环群。推论1有限交换群是可积群。证明：因为有限交换群是循环p群的直积[见3，定理1.8.17]，由定理1和引理3立得。定理2群是幂零群，则可积的充要条件是其每个sylow子群可积。证明：1）充分性。因为群是幂零群，故的每个sylow子群正规，且能表示成其sylow子群的直积（见[3，定理1.8.14]）又由条件及引

6、理3得可积。2）必要性。设，则又设（其中），则，且char。令，则char，由引理4得可积，又和同构，可积。注3：从定理3可以看出研究p群可积性的重要性，类似于有限群的其它性质，我们再次看到了p群的重要性。引理1.2就是W.Burnside在研究什么群可以作为p群的导群时所得到的结论。我们将用它来证明一个结论。定理3若群是有限非循环p群，并且满足循环，则若可积，其原群必定不是p幂零群。证明：用反证法。设是的原群，且为p幂零群。则。首先，循环，非循环，由引理2得不是p群，考虑的子群，显然char。则，是p群，使得。又是p幂零群，。。也可以看成的原群，是p群[见2，命

7、题VIII1.2(1)]，这与的原群不是p群矛盾。由此得结论。3需进一步解决的问题1)任意群，是否都可积？若不是，找到群可积的充要条件并给出反例；若是，给出证明。2)对于任意群，怎样求出其原群？以下问题均在问题1)否定的情况下有意义。3)p群都可积吗？若答案是否定的，那么可积p群的性质又如何？(若p群都可积，则幂零群都可积。）4)可解群可积性如何？(具体的说，可解群的sylow系与可积的关系如何？可解群的sylow系都可积，该可解群可积吗？)5)是否所有单群都可积？6)群的半直积对群的可积性的影响如何？(设群可积，那么他们的半直积是否可积？)将该问题推广可得到：群

8、的构造方法