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1、广义超特殊p-群的自同构群Ⅲ数学年刊2011,32A(3):307—318广义超特殊p-群的自同构群III冰王玉雷刘合国提要确定了广义超特殊P一群G的自同构群的结构.设lGf=P0+,l(GI=p,其中n≥1,m≥2,AutfG是AutG中平凡地作用在FratG上的元素形成的正规子群,则(1)当G的幂指数是p时,(i)如果P是奇素数,那么AutG/AutfGzf口一1)p一2,并且AutfG/InnGSp(2n,P)×zp.(ii)如果P=2,那么AutG=AutfG(若m=2)或者AutG/AutfGz2一3×z2(若m≥3),并且AutfG/InnGSp(2n,2)×z2.(2)当G
2、的幂指数是p+时,(i)如果P是奇素数,那么AutG=(0)~<AutfG,其中0的阶是(P一1)pm一,且AutfG/InnGSp(2n一2,p),其中是P阶超特殊P一群.(ii)如果P=2,那么AutG=(01,02)KAutfG,其中(1,02)=(01)×(02)z2一2×z2,并且AutfG/InnGKSp(2n一2,2),其中是2-1阶初等Abel2-群.特别地,当n=1时,AutfG/InnGzp.关键词广义超特殊群,中心积,辛群,自同构MR(2000)主题分类20F18中囝法分类O153.3文献标志码A文章编号i000—8314(2011)03—0307—121引言
3、和预备知识本文中P是一个素数,所考虑的群都是有限群,采用的术语和符号都是标准的[1-3】.我们知道,最特殊的有限非Abelp-群是超特殊p一群.一个有限p一群G是超特殊的,如果G=FratG=G并且它们是P阶群.Winter[]给出了下面超特殊p一群的自同构群的结构.命题1.1设G是一个超特殊群且其阶为p2n+,Aut.G是AutG中平凡地作用在G上的元素形成的正规子群,则AutG=(0)AutG,其中0的阶是P一1,Aut.Gn(0)=1,AutG/InnG可以嵌入到Sp(2n,P)中.进一步地,(i)如果P是一个奇素数并且G的幂指数是P,那么Aut.G/InnGSp(2n,p),其中
4、Sp(2n,P)的阶是P矿兀一1).=1(ii)如果P是一个奇素数并且G的幂指数是P,那么Aut.G/InnG是Sp(2n一2,P)和一个P.一阶正规的超特殊群的半直积(如果礼=1,那么Aut.G/InnG是p阶群).(iii)如果p=2,那么Aut.G/InnG同构于正交群O(2n,2),IO(2n,2)I=2n(n--1)+.(2"一e)兀(2一1),其中e=1(如果G同构于n个8阶二面体群的中心积);e=一1(如=l果G同构于n一1个8阶二面体群与一个四元数群的中心积).本文2010年3月1日收到,2010年6月30日收到修改稿.河南工业大学数学系,郑州450001.E-mail:
5、yulwang@yahoo.ca通讯作者.湖北大学数学与计算机科学学院,武汉430062.E—mail:ghliu@hubu.edu.an国家自然科学基金(No.10971054),河南省教育厅自然科学基金(N0.2011Bl10011),河南工业大学科研基金(No.10XZZ011)和河南工业大学引进人才专项基金(No.2009BS029)资助的项目.数学年刊32卷A辑在文f1]中,一个有限p一群G称为广义超特殊的,如果G的中心<G是循环群且它的导群G是P阶群.显然,广义超特殊群G满足zG≤FratG≤(Gz,其中≥1.如果m=1,那么该广义超特殊p一群就是超特殊的,此时上述这3
6、个子群是一样的.如果m≥2,那么广义超特殊p一群的这3个子群就可能存在严格的包含关系,因此可以分别借助于在这3个子群上作用平凡的白同构来分析广义超特殊P一群的自同构群.在文『51中,我们借助于在导群上作用平凡的白同构确定了广义超特殊P一群的自同构群.命题1.2设G是一个广义超特殊群,并且lGl=P."『卜,l<Gl=P,其中n≥1,m≥2.(1)当P是奇素数时,AutG,G={∈AutG1Oz在G上作用平凡),则(i)AUtG,GqAutG,AutG/AutG,Gz口一1.(ii)如果G的幂指数是P,那么Auto,G/InnGSp(2n,P)×z一.(iii)如果G的幂指数是P¨,
7、那么AutG,G/InnG(KSp(2n一2,p))×z_1.其中足P一阶超特殊p一群.特另0地,当n=1时,AutG,G/InnGz口×zpro-t.(2)当P=2时,(i)如果G的幂指数是2,那么OutGSp(2n,2)×7/,2×z2m一特别地,当n=1时,lAutGl=3.2,AutG的Sylow子群都不是正规子群,并且AutG的Sylow2-子群都同构于HK,其中日=z2×z2×z2×z2一.,K=z2.(ii)如果G的幂
