《群的自同构群》PPT课件.ppt

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1、近世代数§5群的自同构群7/25/202115:20本节讨论群的全体自同构作成的群.首先我们来考虑更一般的代数系统的自同构群.7/25/202115:20定理1设M是一个有代数运算(叫做乘法)的集合,则M的推论1群G的全体自同构关于变换的乘法作成例1求Klein四元群的自同构群.全体自同构关于变换的乘法作成一个群,称为M的自同构群.一个群,这个群称为群G的自同构群,记为AutG.7/25/202115:207/25/202115:20定理2无限循环群的自同构群是一个2阶循环群;n阶为Euler函数.证:由于在同构映射下,循环群的生成元与生成个生成元,

2、从而其自同构群分别为2阶循环阶群,其中循环群的自同构群是一个元相对应,而生成元的相互对应完全决定了群中所有元素的对应,因此一个循环群有多少个生成元就有多少个自同构.由于无限循环群有两个生成元,n阶循环群有7/25/202115:20群和阶群.推论2无限循环群的自同构群与三阶循环群的自同构群同构.定理3设G是一个群,则1)是G的一个自同构,称为G的一个内自同构;2)G的全体内自同构作成一个群,称为群G的内自同构群,记为InnG;7/25/202115:203)7/25/202115:207/25/202115:20定义1对群G的所有自同构都不变的子群,

3、亦即对G的任何自同构都有的子群N,叫做G的一个特征子群.特征子群一定是正规子群反之不成立.定义2设H是群G的一个子群.如果H对G的每个自同态映射都不变,即对G的每个自同态映射都有7/25/202115:20则称H为群G的一个全特征子群.全特征子群一定是特征子群.例2群G的中心C是G的一个特征子群.7/25/202115:20例3有理数域Q上的2阶线性群G=Gl2(Q)的中心(Q上的所有2阶纯量矩阵)不是全特征子群.7/25/202115:207/25/202115:20例4证明:循环群G=的子群都是全特征子群.全特征子群、特征子群和正规子群间的

4、关系是定理4设C是群G的中心,则证:易知7/25/202115:207/25/202115:20小结1.群的自同构群的概念，循环群的自同构群。2.内自同构群，特征子群，全特征子群。作业：5.67/25/202115:20