群表示理论ppt课件.ppt

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1、2.1群的矩阵表示2.2舒尔引理2.3表示矩阵元的正交性定理2.4表示的构造2.5基函数的性质2.6表示的特征标2.7群元空间2.8正规表示2.9完全性关系2.10表示的直积2.11直积群的表示第二章群表示理论定义：群G的矩阵表示，就是一个与群G同态的方知阵群．也就是说，对于群G的每一个元A，对应着方矩阵群的一个方矩阵D(A)，并且D(A)D(B)=D(AB)(2.1-l)对于群G中的每一个A及B都成立．若知阵群与群G是同构关系，那么这个表示就称作确实表示；若二者是同态关系，群G的元多于矩阵群的元，那么，群G的几个元就对应

2、于一个相同的矩阵，这种表示就称作不确实表示．后面还会看到矩阵群大于群G的同态关系．群G的表示记作DG；,矩阵的行（或列）数l称作表示的维数．由定义可知：(l)D(E)=I0,I0是l×l的单位矩阵；(2.1-2)(2)D(A-1)＝[D(A)]-1.(2.1-3)一个群的矩阵表示必然自动地就是其子群的一个矩阵表示，简称为“表示”.§2.1群的矩阵表示例在第一章中3×3的矩阵群d3群与正三角形的对称群D3群同构，因此，d3群的各元就是D3群的一个三维的确实表示．即第一章还给出了六个2×2矩阵组成的群.该群与d3群同构，因而也

3、与D3群同构，所以是D3群的一个二维表示.由于D3群与C3V群同构，而当用坐标变换来表示C3V群的操作时，就得到了D3群的一个三维表示，即：D3群的一个一维表示是要提出的，那就是由仅有一个元的矩阵形成的表示，即D(E)=D(A)=D(B)＝…=(1)这个表示称作恒等表示（平庸、单位、显然表示）．任何一个群都有这么一个恒等表示．可见，任意一个群，都有无限多个表示，这些表示都可由若干个基本的表示形成，而每一个群的基本表示的个数却往往是有限的．等价表示与幺正表示（1）等价表示相似变换有一个l维的方矩阵M，若用一个非奇异的l×l矩

4、阵S进行变换M'=S-1MS(2.1-4)那么M’就称作M的相似变换.等价表示两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示．记作DG~DG’．由于矩阵之间的关系不受相似变换的影响，所以把一切等价的表示都认为是相同的表示．要证明对于群G的一个表示DG进行相似变换后得到的DG’仍为群G的一个表示．即证明，当D(A)D(B)=D(C)时，D’(A)D’(B)=D’(C)亦成立．其中A，B是群G中的任意元，C=AB.证明：根据定义D’(A)D’(B)=(S-1D(A)S)(S-1D(B)S)=S-1D(A)D(B)S=S-1D(C)S

5、=D’(C)例：将d3群的各元（D3群的表示），用幺正矩阵作相似变换，得到新的表示为d3群：(2)幺正表示幺正矩阵如果一个矩阵U的逆U-1等于矩阵U的复共轭转置矩阵Ũ*,U就称作幺正矩阵．由于Ũ*=U+,，所以当U-1=U+时，U就是幺正矩阵.任何一个实正交矩阵R是幺正的．因为R是正交的，所以，由于R是实的，所以(2.1-5)幺正表示若群G的一个矩阵表示中，所有的矩阵都是幺正的，那么这个表示就称为群G的一个幺正表示．对于幺正表示，D(A-1)=D(A)+成立．因为对于幺正表示，D(A)D(A)+=I0对任意G中的A成立，而

6、已知D(A)D(A-1)=I0，于是，D(A-1)=D(A)+(2.1-6)定理一有限群的任何非奇异的矩阵表示，都可以通过相似变换变成幺正的矩阵表示．证明：只需指出对群G的任何非奇异的矩阵表示，总存在相似变换矩阵S使之成为幺正表示即可.证明分三步进行．令g阶群的表示D(Al),D(A2)，…，D(Aμ)，…，D(Ag)记作Al,A2，…，Aμ，…，Ag.第一步：作一个矩阵H(2.1-7)因为(2.1-8)所以，H是厄米矩阵．由于任何厄米矩阵都可以通过一个幺正的相似变换变为对角矩阵，因此，存在一个幺正矩阵U，使为对角矩阵．而

7、(2.1-9)第二步：的所有对角元都是实数而且是正的．因为(2.1-10)只有当对一切μ全部为零时，才能为零．如果这样，对于一切μ，表示矩阵Aμ都将有一整行（第k行）为零，这与非奇异表示的前提不合，所以的任一对角元都不可能为零，是实数且是正的．于是，可以定义两个实的对角矩阵D1和D2:(2.1-11)它们满足(2.l-12)其中I0为单位矩阵．第三步：证明UD1就是使表示矩阵Aλ变成幺正表示的变换矩阵．现在证明这就证明了新的表示矩阵确是幺正矩阵，定理得证.证明过程中用到了重排列定理.以后讨论群的表示时，只讨论幺正表示.定理

8、二若群G的两个幺正表示DG和DG’是等价的，那么，必然存在一个幺正矩阵U，使D’(R)=U-1D(R)U证明：已知DG和DG’等价，必存在一个非奇异的矩阵S，使D’(R)=S-1D(R)S，显然D’(R-1)=S-1D(R-1)S，上式两边取厄米共轭后，得D’(R-1)+=S+D(R-1)+(S-1)+