群表示论基础.ppt

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1、第二章群表示论基础1线性代数基本知识■线性空间:定义在数域K上的向量集合{v1,v2,v3,…}=V.在V中定义了加法和数乘两种运算.设v1,v2,v3∈V,a,b,c∈K,向量的加法和数乘具有封闭性,且满足下列条件:加法:v1+v2=v2+v1v1+(v2+v3)=(v1+v2)+v3唯一的0元存在,使v1+0=v1对任一向量v1,有唯一逆元(-v1)存在,使v1+(-v1)=0数乘:1v=v(ab)v=a(bv)a(v1+v2)=av1+av2(a+b)v=av+bv则称向量集合V为一个线性空间.线性无关:对于V中的n个向量v1,v2,…vnV,如果不

2、存在n个不全为零的数a1,a2,…,anK，使得a1v1+a2v2+…+anvn=0则称这n个向量v1,v2,…vn是线性无关的.线性空间V中的任意一个向量vV可由这n个向量v1,v2,…vn生成，即v=x1v1+x2v2+…+xnvn其中x1,x2,…,xnK.这n个向量v1,v2,…vn称为线性空间V的一组基向量,通常记为:e1,e2,…en.线性空间V中线性无关向量的最大数目，称为V的维数。■内积空间:定义了内积的线性空间.内积:设V是数域K上的一个线性空间,v1和v2是V中任意两个向量,映射ψ将v1和v2映射为一个数,即ψ(v1,v2)=(v1

3、

4、v2)∈K,且满足下列条件(v1+v2

5、v3)=(v1

6、v3)+(v2

7、v3)(v1

8、av2)=a(v1

9、v2)(v1

10、v2)=(v2

11、v1)*当v10时,(v1

12、v1)>0,则数(v1

13、v2)称为向量v1和v2的内积.长度：向量v的长度定义为

14、v

15、=(v1

16、v1)1/2正交：如果(v1

17、v2)=0，则称向量v1和v2正交。正交归一基：如果内积空间的一组基向量（e1,e2,…en)满足(ei

18、ej)=δij,则称为正交归一基.■线性变换:设V是定义在数域K上的一个线性空间,线性变换A是将V映入V的线性映射,即对于任意v1,v2∈V,a∈K,有A(v1)

19、VA(av1+v2)=aA(v1)+A(v2)则称映射A为线性空间V上的一个线性变换.如果A是一个将V映入V的一一对应的满映射,则存在A的逆变换,记作A－1.■幺正变换:设U是内积空间V上的线性变换,即对于V中任意向量v1,v2∈V,U保持v1和v2的内积不变,即(Uv1

20、Uv2)=(v1

21、v2)则称U是V上的幺正变换.共轭变换:A,A†是内积空间V上的线性变换,如果对任意v1,v2∈V,满足(Av1

22、v2)=(v1

23、A†v2),则称A,A†互为共轭变换.幺正变换U满足UU†=U†U=E,E为恒等变换.在n维线性空间V中任取m(mn)个线性无关的向量v1,

24、v2,…vmV,由这m个向量作为基向量,可以生成一个m维线性空间V1,称为V的一个子空间.线性空间的子空间:线性空间的直和:设V1和V2是线性空间V的两个子空间,如果V中的任意一个向量vV都可以唯一地表示为V1和V2中向量之和,即对于任意vV,能够找到v1V1,v2V2,v可唯一地表示为v=v1+v2.则称线性空间V是其子空间V1和V2的直和,记作V=V1⊕V2.矩阵表示:用列矩阵表示线性空间V的一组基向量,即●则线性空间V中任意一个向量v可表示为一个列矩阵,即●内积:线性空间V上任意两个向量本间的内积可定义为●线性空间V上任意一个线性变换A可表示

25、为一个n维方矩阵,即●内积空间V上任意一个线性变换A的共轭变换表示为A†=A*T.●n维线性空间V中,当选定一组基后,V中的向量与列矩阵有一一对应的关系,V上的线性变换与n维方矩阵一一对应.●线性变换群:设V是n维复线性空间,V上所有非奇异线性变换,当定义群的乘法运算为连续两次线性变换时,构成一个群,称为n维一般复线性群GL(n,C).V上线性变换构成的群,称为线性变换群.记为L(V,C)●n维线性空间V中,当选定一组基后,线性变换就与相应的n阶矩阵群同构.●相似变换设{e1,e2,…,en}和是线性空间V的两组不同的基,这两组基之间由非奇异矩阵S相联系,即

26、则V中任一向量v在上述两组基下的列矩阵表示由下式联系则V中任一线性变换A在上述两组基下的矩阵由下式联系矩阵A’和A的上述关系称为相似变换.2群表示■群表示定义:群G到线性空间V上的线性变换群的同态映射A,称为群G的一个线性表示,V称为表示空间.即映射A保持G的乘法规律不变,即对任意g,gG,有■等价定义:群G到n×n矩阵群的同态映射A,称为群G的一个n维线性表示.任意群元的表示矩阵应当是非奇异的,即对任意g,gG,有det[A(g)]≠0.●忠实表示:如果群G到线性空间V上的线性变换群的映射A不但同态,而且同构,即A是一一对应的满映射,则表示A

27、称为忠实表示.●例:1)对任何一个群G,一阶单位矩阵