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1、第二章有限群的表示理论2.1群的线性表示2.2等价表示、表示的幺正性和不可约表示2.3有限群的表示理论2.4有限群不可约表示的特征标表2.5新表示的构成2.6物理应用2.1群的线性表示一、线性空间与线性变换1.线性空间（矢[向]量空间）是定义在数域K(如实数域R或复数域C)上的矢量集合{x，y，z，...}=V在V中可以定义加法和数乘两种运算：设矢量加法和数乘具有封闭性，且满足加法：x+y=y+x交换律x+(y+z)=(x+y)+z结合律x+0=x有唯一零元素对任一x,有唯一(-x)，x+(-x)=0数乘：1∙x=x(ab)x=a(bx)a(x+
2、y)=ax+ay(a+b)x=ax+bx若将加法运算看成群的‘乘法’则线性空间V构成一个阿贝尔的加法群恒元逆元线性空间是定义在数域上的矢量集合，且定义了矢量加法和数乘2.线性变换设V是数域K上的线性空间线性变换A是将V映入V的线性映射，即对x,y∈V，a∈K有A：V→V，A(x)∈V对V中矢量x进行A变换仍属于VA(ax+y)=aA(x)+A(y)线性线性变换的运算设A和B是从V到V的线性变换，则可定义线性变换的数乘、加法和乘法为：(aA)(x)=a(A(x))(A+B)(x)=A(x)+B(x)(AB)(x)=A(B(x))逆线性变换的运算若线
3、性变换是把V映入V的一一对应满映射，则存在A的逆线性变换A-13.n维线性空间若线性空间V中最多有n个线性独立（线性无关）的矢量，则称V是n维线性空间基（矢）：(e1,e2,...,en)矢量：坐标系：基(e1,e2,...,en)也称为坐标系坐标：有序数组(x1,x2,...,xn)也称为x的坐标矩阵表示形式基（矢）：线性变换：矢量：A作用到基上A作用到矢量上非奇异线性变换：当detA≠0时，存在A的逆矩阵A-1，它对应于变换A的逆变换，这是称A是非奇异的4.复一般线性群设V为n维复矢量空间（即数域K为复数域C），V上全部线性变换当定义乘法为连
4、续两次线性变换时构成一个群，称为n维复一般线性群，记为GL(n,C)，有时也记为GL(V,C)线性变换群V上非奇异线性变换构成的群，称为线性变换群，记为L(V,C)，显然L(V,C)属于GL(VC)●若在V中选一组基（e1,...,en），则群中互逆元素矩阵与相应逆矩阵V中非奇异线性变换n×n非奇异矩阵群L(V,C)n×n非奇异矩阵群群的乘法矩阵的乘法群的恒元n×n单位矩阵●若找到与给定群同构的矩阵群，则矩阵群性质完全反映给定群的性质●若找到与给定群同态的矩阵群，则矩阵群性质反映给定群的部分性质（同态核以外）二、线性表示1.定义若行列式不为零的m
5、×m矩阵集合构成的群D(G)与给定群G同构或同态，则D(G)称为群G的一个m维线性表示，简称表示（representation）.表示矩阵：在D(G)中，与G中元素R对应的矩阵D(R)称为元素R在表示D(G)中的表示矩阵特征标：表示矩阵D(R)的迹χ(R)=TrD(R)称为元素R在表示D(G)中的特征标（character）注意规定：表示矩阵行列式不为零，保证表示矩阵存在逆矩阵恒元：表示矩阵D(R)=I互逆元素：表示矩阵为互逆矩阵D(R-1)=D(R)-12.分类1)真实表示（忠实表示）：D(G)≈G非真(忠)实表示：D(G)~G若D(G)≈G，
6、且G'≈G则D(G)≈G'2)恒等表示（平庸、单位、显然表示）：让群中所有元素都对应1，D(R)=1，得到的表示任何群都有恒等表示自身表示：任何矩阵群本身就是自己的表示幺正表示：表示矩阵是幺正矩阵D(R)+D(R)=I实正交表示：表示矩阵是实正交矩阵D(R)+D(R)=I，D(R)TD(R)=I，detD(R)=±1群的表示不唯一练习设G是一个非阿贝尔群，D(G)是群G的一个真实表示，元素R的表示矩阵为D(R)，现让群G元素R分别于下列矩阵对应问：此矩阵的结合是否分别构成群G的表示？(1)D(R)+(2)D(R)T(3)D(R-1)(4)D(R)
7、*(5)D(R-1)+(6)detD(R)(7)TrD(R)三、群代数和有限群的正则表示1.群函数函数关系：自变量和因变量之间的一种确定关系y=f(x)定义：若对于群G的每一个元素R，都有一个确定的数F(R)与之对应，这样以群元素作为自变量的函数称为群函数记为F(G)可以是矢量函数、矩阵函数等说明(1)有限群，群函数自变量有g个取值(g是群的阶)，则有限群线性无关的群函数数目等于群的阶g(2)群G的每一个线性表示D(G)都是群G的一个矩阵函数(3)表示矩阵的每一个元素Dμν(G)都是群G的一个群函数（数值）(4)特征标χ(R)=Tr(R)也是群G
8、的一个群函数（数值）(5)共轭元素特征标相同，因此特征标也是类的函数证明作为练习2.群空间1)群元素的加法（R+S）：c1R+c2S=c
