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1、定义1.4.2---对称群§1.4群的同构一、群同构的定义定义1.4.1---同构映射例1例2定理1.4.4---变换群判定定理1.4.3---群同构是等价关系定理1.4.2---群同构的性质二例3二、群同构的性质定理1.4.1---群同构的性质一三、凯莱定理一、群同构的定义是两个群，定义1.4.1设与是到的则称为群到的一个同构映射(isomorphism),简称同构.并称群与群同构,记作群到它自身的同构映射称为群的自同构.一一对应，使得注在群同构的定义中,我们虽然使用了同一个符号“”表示群与的运算,但这仅仅是为与群了方便.式与分别是在群中进行的运算,一般来说它
2、们是不相同的.在讨论具体的群时,应该用它们各自的运算符号来代替.例１设是群,是的恒等映射:显然是一一对应.又对任意的所以,是的一个自同构,这个同构称为恒等同构.例２设为全体实数组成的加法群,表示全体正实数组成的乘法群，则群与同构.证(1)对任意的则是到的映射.(2)设如果(3)对任意的,令所以是到的单映射.令即则所以是到的满映射.(4)对任意的所以保持运算.这就证明了是到的同构映射.注证明群之间的同构的步骤:第一步 构作群与群的元素间的对应关系,并证明是到的映射;第二步证明是到的单映射.由导出第三步证明是到的满映射.证明存在使即对任意的即对任意的证明第四步证明保
3、持运算.即对任意的二．群同构的性质定理1.4.1设是到的同构映射,与分别是与的单位元,是的任一元素.则(1)(2)(3)是可逆映射,且的逆映射是群到的同构映射.证(1)对任意有则由消去律得(2)因所以为的逆元.(3)是到的一一对应,所以是可逆映射,从而由逆元的惟一性得且其逆映射是到的一一对应.我们有又因为是单射，所以这就证明了是到的同构映射.保持运算.下面证定理1.4.2定义,则(1)若是交换群,则也是交换群.(2)若是有限群,则也是有限群,且证由定理1.4.1我们知道,与是一一对应的,于是,若是有限群,则也是有限群,且下证(1):若我们有于是也是交换群.定理1
4、.4.3群的同构是一个等价关系,即:(1)(反身性);(2)若,则(对称性);(3)若则(传递性).这里,、、都是群.证(1)(2)已证(见例1及定理1.4.1(3)).现证(3).设是到的同构映射,是到的同构映射,则是到的一一对应.又对任意的所以是到的同构映射,从而.例3设群是四次单位根群(见§1.2例7),是由元素和关系和所定义的群.问与是否同构,为什么?这是一个矛盾.从而知与不同构.而是单射,我们可以得到解如果与同构,是到的同构映射.则易知三．凯莱定理1．对称群与变换群设是任一非空集合,令是的全体可逆变换所组成的集合.如果是的任意两个可逆变换,则变换的合成
5、:仍是的可逆变换.所以是的代数运算.(1)由于映射的合成满足结合律,所以的运算也满足结合律;(2)设是的恒等变换,则.且对任意的所以由此知,是的单位元.(3)设是的任一可逆变换,则的逆变换也是可逆的,并且.所以的每一个元素在中都有逆元.从而由群的定义知,关于变换的合成构成群.关于变换的合成所构成的群称为集合的对称群.定义1.4.2(对称群)非空集合的全体可逆变换的任一子群称为的一个变换群．定理1.4.4每一个群都同构于一个变换群.证设是群,(1)：确定非空集合,取(2)：构作的一个变换.规定则①是的一个变换（称为左乘变换）；②设若,即，于是是单射.③可找于是是满
6、射.由此得可逆，因此下证：是的子群：①由的任意性，令则②于是为恒等映射,所以于是证明了是的子群.③下面证明:令则①显然是到的映射.②设如果,所以是单射.③有,使,所以是满射.④对任意的所以是到的同构映射,即.即于是.从而即所确定的左平移(lefttranslation).如果定义那么同样可以证明:也是群的一个变换群,称为的右正则表示,同时也有其中变换群称为的左正则表示（leftrepresentation）,变换称为由元素regular
