圆中常用辅助线.doc

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1、圆中常用辅助线遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径.作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量.例1如图1，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点.求证：.图1图2证明过作于∵为圆心，∴∴练习如图2，为⊙的弦，是上的一点，，.求⊙的半径.2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例2如图，已知是⊙的直径，、分别是、的中点，,.图3（二）连结、、、（如图3）.请自己完成证明过程.求证：证明

2、：（一）连结、∵、分别是、的中点,∴、.∵,∴.∵,、,∴△≌△.∴.∴.3.有弦中点时常连弦心距例3如图4，已知、分别是⊙的弦、的中点,，求证：.证明连结、.(其余证明过程略，请自己补充完整)4.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径；⑵连结等弧所对的弦；⑶连结等弧所对的圆心角例4如图5，已知、分别是⊙的半径、的中点，为弧的中点，求证：.图5图4证明连结OC∵C为弧AB的中点∴∴∠AOC=∠BOC∵D、E分别为OA、OB的中点，且AO=BO,∴.∴△ODC≌△OEC.∴CD=CE.5.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径

3、所对的圆周角为直角证题.图7图6例5如图6，为⊙的直径，为弦，为延长线上一点，且,的延长线交⊙于，求证：.证明连结AD.∵AB为⊙O的直径,∴∠ADP=90o.∵AC=PC,∴AC=CD=AP.例6如图7，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且.求证：PA是⊙O的切线.证明作⊙O的直径AD，连BD，则，即.所以.因为，所以，即.所以PA为⊙O的切线.6.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦；⑵作等弧所对的圆心角；⑶作等弧所对的圆周角.练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD=∠F

4、MC(提示：连结BM)2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD=CE，∠1=∠2，求证：AB=AC.7.有弦中点时，常构造三角形中位线.例7已知如图8，在⊙中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE=AD.图8证明作直径CF，连结DF、BF.∵CF为⊙O的直径,∴CD⊥FD.又∵CD⊥AB,∴AB∥DF.∴.∴AD=BF∵OE⊥BC,O为圆心,CO=FO.∴CE=BE.∴OE=BF.∴OE=AD.