和圆有关的常用辅助线.doc

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1、和圆有关的常用辅助线1.若题中有与半径（或直径或过圆心的直线）垂直的线段，或遇到弦时（解决有关弦的问题时）：常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。以便利用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。例：如图，⊙C经过原点O，且与两坐标轴分别交与A（0，8）、B，M是劣弧OB上任意一点（不含O、B），∠BAO=600。（1）求证：AB为圆C的直径；（2）求∠BMO的大小；（3）求圆C的半径及圆心C的坐

2、标例：如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F。（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC例：如图，已知⊙O1与⊙O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线分别交⊙O1、⊙O2于A、C、D、B.求证：AC=BD例：半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离2.遇到有直径或利用直径但没有直径时：常常添加直径所对的圆周角或添加直径。以便利用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。例：如图，已知Rt△ABC中，以AB为直径作一圆交斜边AC于D，DE切圆于点D，

3、交BC于E.求证：EB=EC例：如图,AB为⊙O的弦,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D，∠1=∠2，求证：AB为⊙O的直径例：如图,点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），若∠ACB=600,AB=6，求⊙O半径的长例：已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D.如图（1），若AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C⊥AD；如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立3

4、.遇到90度的圆周角时：常常连结两条弦没有公共点的另一端点。以便利用：利用圆周角的性质，可得到直径。例：如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，求⊙O的半径例：如图，⊙O通过原点，并与坐标轴分别交于A,D两点，已知∠OBA=30°，点D的坐标为(0,2)，求点A,C的坐标4.遇到弦时：常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。以便利用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角例：如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是

5、________5.遇到有切线时：（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）以便利用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点以便利用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理例：如图，AB为直径，PD是⊙O切线，CO=CD，求∠PCA例：如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D，求证：∠1=∠2例：如图，点E在x轴正半轴上，以点E为圆心，OE为半径的⊙E与x轴相交于点C，直线AB与⊙E相切于点D，已知点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，

6、4）．（1）求⊙E的半径长；（2）连接BE、CD，则BE与CD平行吗，为什么？6.遇到证明某一直线是圆的切线时：（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。以便利用：若OA=r，则l为切线。（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）以便利用：只需证OA⊥l，则l为切线。（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线例：如图，AB为⊙O直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE．(1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半

7、径为2，BD＝，求BC的长例：已知：如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE，求证：DE与半圆O相切例：如图，以△ABC的边AB为直径的圆O交AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC.(1)请探究BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，以O、B、E、D为顶点的四边形是平行四边形？例：已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切7.遇到两相交切线时（切线长）：常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连

8、结两切点。以便利用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形例：如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，以CD为直径的圆与AB相切，AB=6，求梯形ABCD的中位线长例：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以AD为直径的⊙O与BC相切.(1)求证：OB丄OC;