圆中常用辅助线的画法

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1、圆中常用辅助线的添法作者:会圆是初中数学重点内容，属中考必考内容，中考中有关圆的问题，大部分需添辅助线解之，那么圆问题中常用的辅助线有哪些呢？现就圆中常用辅助线的添法作一归纳，以期对同学们的学习有所帮助．一、作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.例1.如图，ＡＢ是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于P点，弦PN与AB相交于点M，求证：PM•PN=2PO2.分析：要证明PM•PN=2PO2，即证明PM•PC=PO2，过O点作OC⊥PN于C，根据垂经定理NC=PC，只需证明PM•PC=PO2，要证明PM•PC=PO2只需证明Rt△POC∽

2、Rt△PMO.证明:过圆心O作OC⊥PN于C，∴PC=PN∵PO⊥AB,OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=90°.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.∴即∴PO2=PM•PC.∴PO2=PM•PN，∴PM•PN=2PO2.二、作直径所对的圆周角在解决有关直径的问题时，常常作直径所对的圆周角，以利用直径所对的圆周角是直角的性质。例2如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．（1）求证：BA·BM=BC·BN；（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．分析：要证BA·BM=BC·BN，需证△A

3、CB∽△NMB，而∠C=90°，所以需要△NMB中有个直角，而BN是圆O的直径，所以连结MN可得∠BMN=90°。MNOCA（1）证明：连结MN，则∠BMN=90°=∠ACB∴△ACB∽△NMB∴∴AB·BM=BC·BN（2）解：连结OM，则∠OMC=90°∵N为OC中点B∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30°∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6三、连结半径圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关，连结半径是常用的方法之一.例3．已知：如图，△ABC中，∠B=90°，O是AB

4、上一点，以O为圆心，以OB为半径的圆切AC于D点，交AB与E点，AD=2，AE=1.求CD的长.分析：D为切点，连结DO，则∠ODA=90°.根据切线长定理，有CD=CB.DO=EO=半径r，在Rt△ADO中根据勾股定理或Rt△ADO~Rt△ABC，即可求出CD.证明:连结DO∴OD⊥AC于D,∴∠ODA=90°.∵AB过O点,∠B=90°.∴BC为⊙O的切线,∴CD=CB设CD=CB=x,DO=EO=y在Rt△ADO中，AO2=AD2+DO2，AD=2，AE=1∴,解得y=在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即(2+x)2=(1+y+y)2+x2,∴x=3∴CD=3.四、连结公共弦在

5、处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。例4．已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于点A和B，O2O1的延长线交⊙O1于点C，CA、CB的延长线分别和⊙O2相交于点D、E，求证：AD=BE.分析：⊙O1和⊙O2是相交的两圆，作公共弦AB为辅助线.证明：连结AB交O2O1于P点，∵O1O2⊥AB且O1O2平分AB∴CA=CB∴∠ACP=∠BCP∴点O2到线段AD、BE的距离相等∴AD=BE.五、作连心线两圆相交，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切，连心线必过切点.通过作两圆的连心线，可沟通圆心距、公共弦、两圆半径之间的关系.因此，

6、“已知有两圆，常画连心线.”.例5．已知：如图，⊙A和⊙B外切于P点，⊙A的半径为r，⊙B的半径为3r,CD为⊙A、⊙B的外公切线，C、D为切点，求：（1）CD的长；（2）CD与弧PD及弧PC所围成的阴影部分的面积.解：（1）连结AB、AC、BD∵⊙A和⊙B外切于P点，∴AB过P点∵CD为⊙A、⊙B的外公切线，C、D为切点，∴AC⊥CD，BD⊥CD过A点作AE⊥BD于E，则四边形ACDE为矩形.∴DE=AC=r，BE=BD-DE=3r-r=2r在Rt△AEB中，AB=AP+PB=r+3r=4r，BE=2r∴AE=∴CD=2r.（2）由（1）可知COSB=，∴∠B=60°.∴∠CAB=∠CAE

7、+∠BAE=90°+30°=120°.∴S阴影=S梯形ABDC-S扇形BPD-S扇形ACP=4－π－π=（4－π）六、作公切线分析：相切两圆过切点有一条公切线，这条公切线在解题时起着非常重要的作用，如下题中所作的内公切线MN起到沟通两圆的作用.因此，相切两圆过切点的公切线是常用辅助线.例6．已知：⊙O1和⊙O2外切于点A，ＢＣ是⊙O1和⊙O2的外公切线，Ｂ、Ｃ为切点.求证：ＡＢ⊥AＣ证明：过切点Ａ作公切线ＭＮ