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1、圆中作辅助线的常用方法：（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O中，BD⊥OA于D，经常是：①如图1（上）延长BD交圆于C，利用垂径定理。②如图1（下）延长AO交圆于E，连结BE，BA，得R
2、t△ABE。图1（上）图1（下）（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。例题1：
3、如图2，在圆O中，B为的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，求∠CBD的度数。解：如图，连结OB、OC的圆O的半径，已知∠OAB=500∵B是弧AC的中点∴弧AB=弧BC∴AB==BC又∵OA=OB=OC∴△AOB≌△BOC（S.S.S）图2∴∠OBC=∠ABO=500∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800∴∠CBD=1800-500-5003∴∠CBD=800答:∠CBD的度数是800.例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P，求证：∠APD的度数=（弧AD+弧BC）的度数。证明：连接AC
4、，则∠DPA=∠C+∠A∴∠C的度数=弧AD的度数∠A的度数=弧BC的度数∴∠APD=（弧AD+弧BC）的度数。图3一、造直角三角形法1.构成Rt△,常连接半径例1.过⊙O内一点M,最长弦AB=26cm,最短弦CD=10cm,求AM长;2.遇有直径,常作直径上的圆周角例2.AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的切线,交AC于E.求证:CE=AE;3.遇有切线,常作过切点的半径例3.割线AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F.求证:∠OAE=∠OBF;4.遇有公
5、切线,常构造Rt△(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长)例4.小⊙O1与大⊙O2外切于点A,外公切线BC、DE分别和⊙O1、⊙O2切于点B、C和D、E，并相交于P，∠P=60°。求证：⊙O1与⊙O2的半径之比为1：3；5．正多边形相关计算常构造Rt△例5.⊙O的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH的公共部分的面积.二、欲用垂径定理常作弦的垂线段例6.AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求证:EC=DF;(2)若AE=2,CD=BF=6
6、,求⊙O的面积;三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形例7.AB是⊙O直径,弦CD⊥AB,M是上一点,AM延长线交DC延长线于F.求证:∠F=∠ACM;四、切线的综合运用1．已知过圆上的点，常_________________例8.如图，已知：⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线交⊙O1于A，交⊙O2于C，过点O1的直线AB⊥BC于B.求证：BC与⊙O2相切.例9.如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于E，过E3点作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB于C点．求证：CD与⊙O相切
7、于点E．2.两个条件都没有,常___________________例10.如图，AB是半圆的直径，AM⊥MN，BN⊥MN，如果AM+BN＝AB，求证:直线MN与半圆相切；例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E点.求证:AC与⊙D相切;例12．菱形ABCD两对角线交于点O，⊙O与AB相切。求证：⊙O也与其他三边都相切；五、两圆相关题型1．两圆相交作_____________________例13.⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A点作直线交⊙O1于C点、交⊙O2于D点，过B点作直
8、线交⊙O1于E点、交⊙O2于F点.求证:CE∥DF;2.相切两圆作________________________例14.⊙O1与⊙O2外切于点P,过P点的直线分别交⊙O1与⊙O2于A、B两点，AC切⊙O1于A点，BC交⊙O2于D点。求证：∠BAC=∠BDP；3．两圆或三圆相切作_________________例15.以AB=6为直径作半⊙O,再分别以OA、OB为直径在半⊙O内作半⊙O1与半⊙O2
