关于圆中常用的辅助线作法.doc

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1、关于圆中常用的几种辅助线有关圆的中考，题目变化灵活，在历年各地中考题中均占有较大比例。在解答与圆有关的题目时，常常需要作辅助线，以便在已知和结论之间“牵线搭桥”，从而使分散条件集中化，隐含条件明显化，难点分散简易化，达到解决问题的目的。1、有弦时，可从圆心作与弦垂直的线段；或连结半径。图1OABCEDFM例1：(2006·广东)如图1，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明。解析：解法1，有弦，可从圆心作与弦垂直的线段，用垂径定理。OE=OF。过点O作OM⊥AB于点M，则AM=BM，又AE=BF，故EM=FM，从

2、而OM垂直平分EF，所以OE=OF。解法2，此题也可利用全等来证明。连结半径OA、OB，则OA=OB，故∠A=∠B，又AE=BF，所以△AOE≌△BOF(SAS)，由此OE=OF；本题源于课本，巧妙地加以变化，成了一道开放性试题，学生解题时因为有基础铺垫，既增加了自信，又可以提高数学素养。2、遇到直径时，可作直径所对的圆周角。例2：(2006·烟台)如图2，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连结CD、AO。⑴求证：CD∥AO；图2OACBDE⑵设CD=ｘ，AO=ｙ，求ｙ与ｘ之间的函数关系式，并写出自变量ｘ的取值范围。解析：有直径，可作直径所对

3、的圆周角得直角。⑴连结BC交AO于点E。∵AB、AC是⊙O的切线，∴AB=AC，∠CAO=∠BAO，∴AO⊥BC，∴∠BEO=90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠BCD=∠BEO，∴CD∥AO；⑵∵CD∥AO，∴∠D=∠AOB，∵AB是⊙O的切线，BD是直径，∴∠BCD=∠ABO=90°∴△BCD∽△ABO，∴BD∶AO=CD∶BO，∴6∶y=x∶3，∴y=，0＜x＜6。ADCBOxy图33、遇到90°圆周角时，常连结两弦没有公共点的另一端点。例3：如图3，⊙C经过原点O，并与两坐标轴交于点A、D，已知∠ABO=30°，点D的坐标为(0，)，求点A与圆心C的坐标。解析

4、：有90°的圆周角，故连结直径AD，构造Rt△ADO。连结AD，∵∠AOD=90°，∴AD为⊙C直径，又∵∠ADO=∠ABO=30°，∴OA=OD·tan30°=×=1，∴点A坐标为(0，1)，又∵AD为⊙C直径，且点D的坐标为(0，)，∴点C的坐标为(，)。AOCBE图44、当要判断过圆上一点的直线与圆是否相切时，一般方法是连结经过这点的半径，再证这条直线是否与所作半径垂直。例4：(2006·福建南平)如图4，AB是⊙O的弦，交OE于点C，过B的直线交OC的延长线于点E，此时，直线BE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由。解析：点B在圆上，故可连结半径OB，证∠EBO=90°即可。B

5、E与⊙O相切。理由：连结OB，∵CE=BE，∴∠EBC=∠ECB=∠ACO，∵OC⊥OA，∴∠ACO+∠A=90°，∴∠EBC+∠A=90°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠A，∴∠EBC+∠OBA=90°，即∠EBO=90°，∴BE与⊙O相切。EADBCO图55、在判断一条直线是否为圆的切线时，若直线与圆有无公共点不确定时，则过圆心作已知直线的垂线段，再看它是否等于圆的半径；例5：如图5，已知△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB切于点D，试猜想：AC与⊙O的位置关系。解析：猜想AC与⊙O相切。但切点不明，故过圆心O作AC的垂线段，再证它等于圆的半径。过点O作OE⊥AC

6、于点E，连结OD、OA，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO平分∠BAC，∵⊙O与AB切于点D，∴OD⊥AB，又OE⊥AC，∴OE=OD，又OD为圆的半径，∴AC与⊙O相切。6、当两圆相切时，常作公切线。CO1ADBO2图6例6：如图6，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC和两圆都相切，点B、C为切点，问AB与AC有怎样的位置关系？解析：当两圆相切时，常作两圆的公切线。用切线长定理。AB⊥AC。过点A作两圆的公切线AD交BC于点D，又BC和两圆都相切，∴BD=AD=CD，∴∠ABD=∠BAD，∠ACD=∠CAD，又∠ABD+∠BAD+∠ACD+∠CAD=180°，∴∠BAD+

7、∠CAD=90°。即∠BAC=90°，∴AB⊥AC。A图7O1FEDCBO27、当两圆相交时，常作公共弦。例7：如图7，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC和△ABC的外接圆⊙O1分别交于点D、E，延长AC交过D、E、C三点的圆⊙O2于点F，求证：EF2=ED·EA。解析：欲证EF2=ED·EA，需证EF、ED、EA所在的两个△相似，观察图形，它们分别在△AEF和△FED中，故要连结FD，而连结公共弦CE可将两圆中的圆周角联系起来，从而证角相等。∵AD平分