多自由度非线性振动的迭代配点法研究

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1、第３０卷第１期山东建筑大学学报Ｖｏｌ．３０Ｎｏ．１２０１５年２月ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＳＨＡＮＤＯＮＧＪＩＡＮＺＨＵＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＦｅｂ．２０１５文章编号：１６７３－７６４４（２０１５）０１－００５３－０５多自由度非线性振动的迭代配点法研究姜剑，王兆清，庄美玲（山东建筑大学力学研究所，山东济南２５０１０１）摘要：多自由度非线性振动的数学模型为非线性微分方程组的初值问题。文章运用重心有理插值迭代配点法研究了求解多自由度非线性振动的问题；通过构造一个逼近非线性微分方程组的线性化迭代格式，采用重心有理插值微分矩阵离散线性化微分方程组，由线性化迭代计算最

2、终得到非线性方程组的数值解。结果表明：依据算例的解析解和数值解比较，重心有理插值迭代配点法能够高精度计算模拟多自由度非线性振动的各项物理量，并且简单有效，具有优异的计算稳定性。关键词：多自由度系统；非线性振动；线性化迭代方法；重心有理插值配点法中图分类号：Ｏ２４１．３；Ｏ３２２文献标识码：ＡＢａｒｙｃｅｎｔｒｉｃｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｉｔｅｒａｔｉｖｅｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｍｕｌｔｉｄｅｇｒｅｅｏｆｆｒｅｅｄｏｍｓｙｓｔｅｍｓＪｉａｎｇＪｉａｎ，ＷａｎｇＺｈａｏｑｉｎｇ，Ｚｈｕａｎ

3、ｇＭｅｉｌｉｎｇ（ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＭｅｃｈａｎｉｃｓ，ＳｈａｎｄｏｎｇＪａｎｚｈｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎａｎ２５０１０１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｍｕｌｔｉｄｅｇｒｅｅｏｆｆｒｅｅｄｏｍｓｙｓｔｅｍｓｃａｎｂｅｍｏｄｅｌｅｄｂｙｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｍａｉｎｌｙｓｔｕｄｉｅｄｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｂａｒｙｃｅｎｔｒｉｃｒａｔｉｏｎａｌｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｉｔｅｒａｔｉｖ

4、ｅｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｔｏｓｏｌｖｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｍｕｌｔｉｄｅｇｒｅｅｏｆｆｒｅｅｄｏｍｓｙｓｔｅｍｓ．Ａｌｉｎｅａｒｉｔｅｒａｔｉｖｅｓｃｈｅｍｅｉｓｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｆｏｒａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．ＴｈｅｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｒｅｄｉｓｃｒｅｔｉｚｅｄｉｎｔｏａｌｇｅｂｒａｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｂｙａｐｐｌｙｉｎｇＢａｒｙｃｅｎｔｒｉｃｒａｔｉｏｎａｌｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ

5、ｍａｔｒｉｘｅｓ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｒｅｓｕｌｔｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｃａｎｂｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅａｌｇｅｂｒａｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｉｔｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｅｘａｍｐｌｅｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｃｏｕｐｌｅｄｓｙｓｔｅｍｓｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｅｔｈｏｄｉｓｓｉｍｐｌｅ，ｅｆｆｅｃｔｉｖｅａｎｄｅｘｃｅｌｌｅｎｔｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｃａｎａｃｃｕｒａｔｅｌｙｓｉｍｕｌａｔｅｖａｒｉｏｕｓｐｈｙｓｉｃａｌｑ

6、ｕａｎｔｉｔｉｅｓｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｕｐｌｅｄｓｙｓｔｅｍｓ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎ；ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅ；ｉｔｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ（Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｍｅｔｈｏｄ）分析了不规则物体的多自由［１］０引言度振动，Ｈｕａｎｇ研究了双自由度非线性系统的谐［２］波振荡，Ｇｉｌｃｈｒｉｓｔ分析了双自由度保守拟线性系过去几十年，多自由度系统的振动得到了广泛［３］统的自由振荡。双自由度系统的振动在物理工的研究。Ｍｏｏｃｈｈａｌａ和Ｒａｙｎｏｒ采用近似方法程和许多实际

7、工程中都有着非常重要的运用。例如收稿日期：２０１４－０６－２８基金项目：国家自然科学基金项目（５１３７９１１３）作者简介：姜剑（１９９０－），男，在读硕士，主要从事工程数值分析方法等方面的研究．Ｅｍａｉｌ：ｓｄｊｚｕｊｉａｎｇ＠１６３．ｃｏｍ通讯作者：王兆清（１９６５－），男，副教授，博士，主要从事工程数值分析方法等方面的研究．Ｅｍａｉｌ：ｓｄｊｚｕｗａｎｇ＠ｇｍａｉｌ．ｃｏｍ５４山东建筑大学学报２０１５年双弹簧支撑的弹性梁、铣床的振动都可以采用双自（１）表示为［４］ｎｎ由度系统振动模型分析研究。双自由度非线性ｗｊｆ（ｔ）＝∑ｆｊ∑（１）振动

8、系统可归结为两个非线性微分方程，很多情况ｊ＝１ｔ－ｔｊｗｊｊ＝１ｔ－ｔｊ下，求解非线性方程组的准确解析解是极