用动力系统理论研究多自由度非线性振动问题

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1、用动力系统理论研究多自由度非线性振动问题●●第4卷第4期1991年l2月振动工程Jc~amalofVibrationEagin~ringVo1.●No.Dec.1991用动力系统理论研究多自由度非线性振动问题'张琪昌陈予恕(天津大学)摘要运用中心流形定理和范式理论,本文推导出了一种计算一维动力幕坑Hopf分叉范式系数的倚捷方法.这种方法还可用来求解多自由度非线性撮动问题.用它求解比以往的各种近似方法佃单,方便,易于掌握.现已将这种方法程序化.它可在IBMPc/xr,AT厦其兼容机上使用.关键词,中

2、心流形,Hopt分叉的范式,非线性撮动一,引言根据动力系统理论,为了研究动力系统的Hopf分叉特性,首先需采用Liapunov-Schmidt方法或中心流形定理将a维动力系统化为二维动力系统,然后利用范式理论求其范式.从而获知其分叉特性.这种方法不仅需要近代数学理论而且非常繁琐.文[1]中给出了一种简便的求二维动力系统范式系数的方法.在此基础上t运用中心流形定理和范式理论,本文推量出了一种计算维动力系统范式系效的简捷方法,这种方法还可用来求解多自由度非线性振动问题.它比以往的各种近似方法简便,易学

3、.二,中心流形及Hopf分叉的概念1.中心流形的概念考虑一维动力系统=,(),X∈R'(1设,()是在R'上的向量场,且原点0是一个孤立平衡点,即,(0)=0.又设一钆,(),将A的谱分成三部分o-a,,.若∈o's,使得Re()<O;若∈,使得ReO,)=0;若^?国家自然科学基金厦博士点基金资助项目.本文于1990年5月14日收到.l2振动工程第●卷∈.使得()>O.设,,的广义特征空间分别为酽,和,那么在0点存在与酽和相切的稳定和不稳定不变流形'和.和与相切的中心流形.瘴形,Ⅳ,

4、Ⅳ均在,的流下不变.假设(O)的特征值没有正实部的根,即不存在的情形.对于H存在的情形也可敬类似的讨论.设U为点0的某个领域,且系统(1)在U内可写成(或者通过非奇异的线性变换后写成):]㈤其中(u,)∈口c×;和日分别为×和×f矩阵,其特征值分别有零实部和负实部,I—dlm,z=,tlm~,I+f-,函数,,0厦其一阶偏导数在(0,O)处都等于零.由于中心流形w存在,且在原点处与相切,因此在u内可以将表示为:"=^0),(0)=Dh(0)=0(3)将上式代入到(2)中,得"=,4u+,,^())

5、,∈(4)文[2]指出低维系统(4)包含了决定原来系统(2)的流在原点附近的渐近性态所需的信息.(2)的稳定性可由(d)的稳定性来确定.2.Hopt分叉的概念设系统X=,(x,).x∈詹,∈R具有一个孤立平衡点(Xo,m),此时f(Xo,肿)一O,不失一般性,可设f(O,0)=0且在平衡点处有下述性质:(/-/1)D,(0,O)=^只有一对纯虚特征值=,和^一一,且没有其它零实部的特征值.(Ⅳ2'()]I,-o=d≠o则该系统从平衡点分叉出周期解,周期解的稳定性由其范式的系数口确定,如果a<

6、0则周期解是稳定的,如果a>0财周期解是发散的,周期解的周期由和确定,周期瓦{,此种分叉称为H.pf分叉?由文[1]知在极坐标下Hopf分叉^一范式的一般形式为:嚣",.㈣=∞+c+6l+h.f.在文献[7]中证明了Hopf分叉系统用范式理论得到的范式与用非线性振动方程得到的渐近解之问的等价性.三,计算Hopf分叉范式的系数L将任意雏动力系统变换为线性部分为约当标准形的动力系统设有维动力系统●●●●,●第●朔张琪昌等用动力摹坑理论研究刍自由度非线性摄动阿曩13矿=OCY,),Y∈,∈置(6)

7、假设该系统满足Hopf分叉条件,则可以通过线性坐标变换将(6)式的线性部分化为对角块形式.从理论上讲(6)式的非线性部分可以用新的这组基表示出来.但通过计算发理:对于一个三维动力系统,即使部分非线性项系数为零时,用符号运算语言RI~UCE推导出在新的这组基下非线性部分的表达式在80列打印纸上辖出将长达敦页.如若二,三阶齐次多项式系数都不为零时,则由于檄机内存有限将导致溢出,死机.由她看来甩这种方法获取在新的这组基下.多维动力系统非线性项的表达式是不可能的.必须寻找其它途径.通过对文[3]中计算非线

8、性部分为对角块形式动力系统的范式的方法进行分析,发现如可求出在新的这组基下非线性部分在平衡点附近对自变量的二,三阶导数,则可不求出非线性项在这组基下的显性表达式,就能够计算出原方程范式的系数.因此,将原方程在平衡点附近写为.和式级数"形式=AY+口(y)-t-口3(y)+t..厶(7)其中:口2(y)∈H.2,口.(y)∈脚,Y∈,胃:表示由n个变量组成的阶齐次多项式,A一珥G(y,).由文献[1]知;对于非退化系统,三阶以上齐次多项式系数对系统的影响可以忽略不计,在(7)式中口.