用迭代摄动法求解含立方项强非线性振动方程

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1、2011，33(3):106～108昆明学院学报CN53－1211/G4ISSN1674－5639JournalofKunmingUniversity用迭代摄动法求解含立方项强非线性振动方程何松林，苏征远(昆明学院物理科学与技术系，云南昆明650214)摘要:采用迭代摄动法求解含有立方项的非线性振动微分方程，得到形式简单的近似解析解．通过讨论解析解在各种情况下的近似程度，说明所采用的方法及得到的简单公式在很大范围内是有效的．关键词:立方非线性;近似解析解;迭代摄动法中图分类号:O322文献标识码:A文章编号:1674－5639(2011)03－0106－03SolveStrongNonl

2、inearVibrationDifferentialEquationwithCubicItembyIterationPerturbationHESong-lin，SUZheng-yuan(DepartmentofPhysicsScienceandTechnology，KunmingUniversity，YunnanKunming650214，China)Abstract:ThesolutionofstrongnonlinearvibrationdifferentialequationwithacubictermhasbeenobtainedbyIPM．Theaccuracyofthean

3、alyticalsolutioninallcaseshasbeendiscussed．ItisfoundthatthesimpleformulagottenbyIMPisvalidwithinawiderange．Keywords:cubicnonlinearity;approximateanalyticalsolution;IPM近年来，为了解决强非线性振动在工程设计中的实际应用问题，有关强非线性振动系统周期解的研究已引起广泛关注，提出了能量法、广义谐波函数平均法、范式理论方法、同伦摄动法及迭代摄动法等各种近似求解方法．［1－6］其中，迭代摄动法(IPM)［5－6］相比其它方法，其显著

4、特点是计算简单，一级近似程度较高．另一方面，含立方项的强非线性振动在实际应用中的研究也越来越多，如双弹簧振子的横向振动［7］、新材料中的纳米机械共振子的振动［8］以及悬索的振动［9］等．描述这些振动的微分方程中，线性项常常小于立方项，甚至仅存在立方项．虽然含立方项强非线性振动微分方程可用椭圆函数精确求解，但是由于椭圆函数自身的复杂性，使其在工程实际应用中不够方便．因而探索满足工程设计精度要求的强立方非线性振动方程的近似求解的简便方法，并且给出简单的解析公式是一项有意义的工作．本文将采用迭代摄动法，对含有线性项及立方非线性项的强非线性自由振动方程进行近似求解，希望得出有益的结果．则上可采用

5、强非线性系统周期解的能量法、广义谐波函数平均法、同伦摄动法等进行求解，但计算都相对繁杂，不够方便．在此采用迭代摄动法进行求解．··令y=x，y=x，则(1)式化为y=－kx－bx3，(2)式的解若初始条件为x(0)=A和x(0)=0，则(1)可设为x=Acosωt．(3)对(3)式求导得y=x=－Aωsinωt，(4)将(3)式代入(2)式得y=－kAcosωt－bA3cos3ωt，(5)式可41利用三角公式cos3α化为cosα+cos3α，(5)=3333bA3)cosωt－bAcos3ωt．y=－(kA+(6)44将(6)式积分得3y=－(k+3bA2)Asinωt－

6、sin3ωt，(7)bA4ω12ω1立方非线性方程的迭代摄动法近似解在一阶近似时可忽略高次谐波项，由(7)式与(4)比较得常见的强立方非线性自由振动微分方程可表－Aω=－(kA+3bA3)A，从而=kω2示为4ω··x+kx+bx3=0．(1)32+4bA，式中b是与振动系统自身性质相关的任意常和x(0)=0条件下的近似解析解为ππ42dφ4dφbA∫槡2槡bA∫2Tex==槡1+cos2φ132x=Acos(槡k+bAt)．00槡221－()槡(9)sinφ4槡2由(8)式知，方程(1)表示的振动的周期为41)．κ((16)==2π2π槡bA槡2(10)T=．ω3(16)式是立方振子

7、振动周期的精确表达式，表2槡k+4bA11明周期与振幅成反比．其中的κ()是模为的第由(10)式可见，振动的周期随初始条件(振幅A)的变化而发生改变，这是典型的非线性振动的特点．槡2槡2一类勒让德完全椭圆积分，其展开式(其值)为1)=π(119252解的有效性讨论κ(+…)+++≈282562048槡2为了考察由非常简单的迭代摄动法得到的解析解的有效性，并说明其近似程度，分析讨论以下实例．2．1达芬系统的自由振动达芬系统的自由振动微