一类三阶非线性奇摄动方程组的边值问题

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1、第26卷第5期福建师范大学学报(自然科学版)Vo1．26NO．52010年9月JournalofFujianNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Sept．2010文章编号：1000—5277(2010)05—0031—05一类三阶非线性奇摄动方程组的边值问题陈丽华(福建师范大学福清分校数学与计算机科学系，福建福清350300)摘要：研究一类三阶非线性奇摄动方程组的边值问题．在适当的条件下，利用边界层函数法证明了该问题解的存在唯一性及其渐近解的一致有效性．关键词：奇异摄动；边界层函数法；渐近解；不变流形中图分类号

2、：O175．14文献标识码：ABoundaryValueProblemforaKindofThirdOrderNonlinearSingularlyPerturbedDifferentialEquationsCHENLi—hua(DepartmentofMathematicsandComputerScience，FuqingBranchofFujianNormalUniversity，Fuqing350300，China)Abstract：Studiedtheboundaryvalueproblemforakindofthirdordernonline

3、arsingu—larlyperturbeddifferentialequations．Theexistenceanduniquenessofthesolutionsareprovedbythemethodofboundarylayerfunctionsundersuitableconditionsandtheuniform—lyvalidasymptoticsolutionsaregivenout．Keywords：singularperturbation；methodofboundarylayerfunction；asymptoticsolu—ti

4、on；invariantmanifold关于三阶非线性奇摄动方程的边值问题已有许多研究E1-3]，但对此类方程组的边值问题却较少讨论．文献[4—5]曾分别利用微分不等式方法和边界层函数法对方程组eZy一f(t，Y，Y，e)在边界条件Y(o)===1(e)，y(1)一0(￡)，Y(1)一卢l(e)与y(O，￡)一Y。，Y(O，￡)一Y(1，e)，Y(O，￡)一Y”(1，￡)下的边值问题进行讨论，本文将进一步讨论如下三阶非线性奇摄动方程组的边值问题：厂(￡，，c)’o<￡<1，I(1)Y(O，￡)一a，P(O，￡)一(O，e)一卢，Qy(1，e)+ey”(

5、1，E)一y．～这里的￡>0是小参数，a，，7是”维常向量，Y，f是维向量函数，P，Q是阶常方阵．首先通过变换将原问题转化为等价的3，z维一阶方程组的边值问题，然后利用边界层函数法构造形式渐近解，最后利用[6]的结果证明问题解的存在唯一性和渐近解的一致有效性．1问题转化与假设条件令Y一，e一W，则边值问题(1)可写为fY一z，￡2一W，EW=：=f(t，Y，，￡)，(2)I(o，e)一a，P2(0，e)一叫(o，￡)一，Q(1，￡)一叫(1，￡)一)，．收稿日期：2009—05—05通讯作者：陈丽华(1962一)，副教授，研究方向为微分方程．clhfq

6、@yahoo．tom．cn32福建师范大学学报(自然科学版)2010正本文暂作如下假设：(H1)厂(￡，，z，￡)∈C。Ⅳ’卜。(D)，其中区域D=Eo，13×D2×Eo，fi；0]，D2R抽，Eo>0．(Hz)方程组f(t，，乏，O)一。在区域[0，1]×Dz上确定唯一隐函数孑一(f，)．(H。)退化问题一(，)，(o)一a在0≤t≤1上存在唯一光滑解歹一(f)．(H)对于o≤t≤1，阶方阵厂z(￡)一(￡，(f)，乏()，O)的特征值均不等于负实数或零．3L1记口一(z，叫)，F(t，Y，口，￡)一(叫，厂(￡，，，￡))，(￡)=(乏(f)，Or

7、)，(￡)一(￡，(￡)，／0＼(f)，0))一fl，则(f)的特征方程为det((￡)一,t21)：==0．由(H)知(￡)的特征值恰有＼，(￡)0／个正实部与个负实部，因此问题(2)是属于条件稳定情形m，在t=0与t一1处均存在边界层．2解的形式构造与边界函数的估计为方便起见，记===(TZTW)．由边界层函数法，设(2)的形式渐近解如下：Ⅳz(，￡)：(，E)+(ro，￡)+Q(rl，￡)一[，(￡)+／／x(ro)+Qz()]￡+⋯，(3)f=0其中r。一-二t_≥o，r一≤0，，Ⅱz，Qz分别为外解及左、右端点处的边界层函数．将(3)式代入(

8、2)的第1式，并将所得方程组的左右两端按自变量f，r0，r分成3个方程组，同时略去当e一0时指