非光滑函数的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式.pdf

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1、文章编号：1002-8743（2003）03-0056-03非光滑函数的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式李日光，欧苡（广西师范学院数学与计算机科学系，广西南宁530001）摘要：利用富比尼定理建立了非光滑函数的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式.关键词：富比尼定理；非光滑函数；格林公式中图分类号：0172.2文献标识码：A6在牛顿—莱布尼兹公式F'（x）dx=F（x）I6中，只须要求F'（x）在［a，6］上可积，格林公式aaH（aO-aP）dxdy=UPdx+Ody是牛—莱公式在二元情况下的推广，是否能只要求aO、aP在DaxayLaxayD内可积呢？本文利用实变函

2、数的知识对此作了肯定的回答.定理1若函数P（x，y），O（x，y）在闭区域D上连续，且aO，aP在D上黎曼可积，则有axayH（aO-aP）dxdy=UPdx+Ody，（1）axayLD这里L为区域D的边界曲线，并取正方向.证明先假设穿过区域D内部且平行于坐标轴的直线和L至多交于两点，即区域D既是X型区域又是y型区域（图1）.设D=｛（x，y）I（x）SyS（x），aSxS6｝!1!2或D=｛（x，y）I（y）SxS（y），"SyS｝，!1!2#这里y=!（1x）和y=!（2x）分别为曲线ACB和AEB的方程，而x=$（1y）和x=$（2y）则分别是曲线CAE和C

3、BE的方程.由于aO，aP在D上黎曼可积，从而勒贝格可积，由富比尼定理（文［1］，axayP137，定理4）可得aP6!（2x）aPHdxdy=dxdy=aya!（1x）ayD66P（x，!（2x））dx-P（x，!（1x））dx=aaP（x，y）dx-P（x，y）dx=AEBACB-P（x，y）dx-P（x，y）dx=BEAACB-UP（x，y）dxL同理可以证得HaOdxdy==UO（x，y）dy将上述两个结果相axLD减即得（1）.收稿日期：2003-06-19作者简介：李日光（1944-），男（壮族），广西隆安人，副教授，硕士，主要从事常微分方程研究.第3

4、期李日光，欧苡：非光滑函数的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式·57·当D是一般情形时的证明和普通的数学分析教科书的证明相同，略.0P+0+P更进一步，我们讨论虽然，不存在，但右偏导数，（或左偏导数）在D上存在且黎曼xyxy可积的情形，例如多元凸函数就属于这种情形.+0+P定理2若函数P（x，y），0（x，y）在闭区域D上连续，右偏导数，在D上存在且黎曼可xy积，则有+0+P（*）dxdy=Pdx+0dx，（2）xyLD这里L为区域D的边界曲线，并取正方向.证明和定理l的证明相同，其中第l个等号要用到富比尼定理，第2个等号要用到文［2］P75命题6的结论.注对左偏导

5、数，亦有同样结论.对高斯公式和斯托克斯公式，也有类似的结论.定理3设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成.若函数P，0，R在V上连续，且一阶偏导数P，0，R在V上黎曼可积，则xyz（P+0+R）dxdydz=Pdydz+0dzdx+Rdxdy，xyzVS其中S取外侧.证明和定理l类似，略.定理4设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成.若函数P，0，R在V上连续，一阶右偏+P+0+R导数，，在V上存在且黎曼可积，则xyz（+P+0+R）dxdydz=Pdydz+0dzdx+Rdxdy.xyzVS把右偏导数改为左偏导数，也有类似结论.定理5设光滑曲面S的边界L

6、是按段光滑的连续曲线.若函数P、0、R在S（连同L）上可微，一阶偏导数在S（连同L）上黎曼可积，则（R*0）dydz+（P*R）dzdx+（0*P）dxdy=Pdx+0dy+Rdz，yzzxxyLS其中S的侧与L的方向按右手法则确定.证明和数学分析教科书中的证明基本相同，例如可参看文［3］.只须把其中的格林公式改为定理l，P、0、R的可微性是由于证明中用到了复合函数求导的链式法则.例设x，（x，y）（0，0）lP={（x2+y2）3，0，（x，y）=（0，0）y，（x，y）（0，0）l0={（x2+y2）3，0，（x，y）=（0，0）2xy*·，（x，y）（0，0

7、）P03224则=={（x+y）3.yx0，（x，y）=（0，0）可验证P，0在含原点的闭区域D内连续，而P，0在原点不连续，显然有yx（0*P）dxdy=0，xyD·58·广西师范学院学报（自然科学版）第20卷式中左边是收敛的反常二重积分.设L为D内任一条封闭曲线（含原点），Ll为绕原点一周的圆.Llx=acos!，y=asin!，（0!2"）.则有2"-a2cos!sin!+a2sin!cos!Pcx+Ocy=Pcx+Ocy=c!=0，LL02la3故T（O-P）cxcy=Pcx+Ocy=0，公式（l）成立，其中Dl为D内以L为边界的闭区域.xyLDl参考文献

8、：［l］程