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时间：2018-12-25
《高斯公式和格林公式的运用分部积分法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第八节高斯公式和格林公式的运用1、（空间第一公式）设S为光滑闭曲面，S围成区域为V，在V，S上有二阶连续的偏导数，有连续的偏导数，证明：1)；2).2、.V,S条件同上题，，，函数为V上有连续的二阶偏导数，证明：.3、V,S条件同上题，，函数为V上有连续的二阶偏导数，且.证明：4、V,S条件同上题，，函数为V上有连续的二阶偏导数，且证明：。证明在第3题公式中,取，得到，从而，6故成立5.（空间第二公式），这里区域V的边界为S，在V+S有二阶连续的偏导数，为S的单位外法线方向.例1.设是高斯公式中的闭区域，，表示的单位外法向量场.求证：（1）
2、；（2）；（3），（此公式称为格林第二公式，非常有用.这三个公式实质上多重积分的分部积分公式.）证明（1）应用高斯公式，得；（2）应用高斯公式，得6；（3）利用（2）的结果，得，，此两式两边分别相减，即得.例2.设在单位圆盘上具有连续的二阶偏导数，且，证明.证明取，显然；利用格林公式，并利用条件，得.例3.设是上二次连续可微函数，满足，计算积分.6解设，利用格林公式,并利用条件，得.例4.设在单位圆盘上具有连续的一阶偏导数，且，试证成立，其中.证明取，显然；记，利用格林公式，并利用条件，得，即结论得证.或者利用在极坐标表示下有6，即结论得证
3、.例5设在单位圆盘上具有连续的二阶偏导数，且，证明.证明取，显然；利用格林公式，并利用条件，得.例6、设是中的有界闭区域，，且是内的调和函数，6求证：（1）；（2）.6
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