分部积分法的推广公式.pdf

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1、第24卷第6期农业与技术Vol.24No.62004年12月Agriculture＆TechnologyDec.2004·202·分部积分法的推广公式连冬艳吴宏锷（河南省南阳理工学院数理部473004）【摘要】本文初步介绍了积分运算中的重要计算方法——分部积分法的一种简便计算方法。用此方法求解简捷、迅速、准确的优点显得尤为突出。【关键词】积分；分部积分；表格运算中图分类号：O241.83文献标识码：B分部积分法是一种重要的基本积分方法。它解正确运用公式的关键是适当选取u及v¢dx=dv，使决的对象是被积函数为两个不同类型函数乘积的积得符合如下两个要求：分。当乘积中含有对数函数因

2、子、三角函数因子、（1）从v¢dx=dv易求得v；反三角函数因子和指数函数因子时，用分部积分法（2）积分òvdu比òudv简单易求。最为奏效。其分部积分公式：根据上述两个要求我们举例说明：òuv¢dx=uv-òvu¢dx或òudv=uv-òvdu；3例1求不定积分ò(x+2x+5)cos2xdx。1312解：原式=(x+2x+5)sin2x-ò(3x+2)sin2xdx2213123=(x+2x+5)sin2x+ò(3x+2)cos2xdx-òxcos2xdx242131233=(x+2x+5)sin2x+(3x+2)cos2x-xsin2x-cos2x+C2448由例1可看出

3、，在这里我们是选取选择上的混乱针对上述问题，把分部积分公式进行3x+2x+5=u，cos2xdx=v¢dx通过转化知推广，其推广公式具有直观，清晰的特点，且能较v=1sin2x．于快，较准确地求得所要的结果。以下介绍此推广公2是利用公式可以进行计算，但对于这道题我们是反式：复利用分部积分公式进行运算，又由于同类函数出设u=u(x)，v=v(x)在其区间I上有定义，现的次数多，容易产生符号、系数的笔误以及u，vu(x)是有n+1阶连续导数v(x)可积，则有(n+1)(n)(n-1)(n-2)(n-3)n+1(n+1)òuvdx=uv-u¢v+u¢¢v-u¢¢¢v+L+(-1)òu

4、vdx·203·2004年12月农业与技术Vol.24No.6[证]当n=0时òuv¢dx=uv-òu¢vdx(n+1)(n)(n)当n≥1时òuvdx=uv-òu¢vdx(n)(n-1)(n-1)òu¢vdx=u¢v-òu¢¢vdx(n-1)(n-2)(n-2)òu¢¢vdx=u¢¢v-òu¢¢¢vdxM(n)(n)(n+1)òuv¢dx=uv-òuvdx由下往上依次代入，即可证得推广的分部积分公式。用表格表示推广公式如下：u的各阶导数uu¢u¢¢u¢¢¢(n+1)┅u(n+1)(n+1)(n)(n-1)(n-2)v的各阶原函数vvvv┅v计算法则：３．当表格中同一列的两个函

5、数乘积等于所给被积1．推广公式的各项（不包括符号）为从左上到右下函数的常数倍时，求导和求原函数工作不再进行，(n+1)错位相乘，最后一项为òuvdx；用解方程的方法即可求得积分。当被积函数中由一２．各项符号为“+”，“—”相间，最后一项符号为个因子为对数或反三角函数时，须做变量替换把它n+1(-1)；换成指数或三角函数时才能使用表格法。52例２求不定积分ò(x+3x-2x+5)cosxdx．解：52432x+3x-2x+55x+6x-220x+660x120x1200cosxsinx-cosx-sinxcosxsinx-cosx52432原式=(x+3x-2x+5)sinx+(

6、5x+6x-2)cosx-(20x+6)sinx-60xcosx+120xsinx+120cosx+Ckx例3òesin(ax+b)dx解：b2sin(ax+b)acos(ax+b)-asin(ax+b)2004年12月农业与技术Vol.24No.6·204·kx1kx1kxeee2kk22kx1kxakxakxòesin(ax+b)dx=esin(ax+b)-2ecos(ax+b)-2òesin(ax+b)dxkkk22a+kkxksin(ax+b)-acos(ax+b)kx∴2òesin(ax+b)dx=2×e+Ckkkxksin(ax+b)-acos(ax+b)kx∴òe

7、sin(ax+b)dx=22×e+Ck+a2例4求不定积分òx(arcsinx)dx．三角函数，然后再用表格法计算分部积分，最后还［解题提示］当lnx，arcsinx，arccosxarctanx原变量。的次数高于１时，最好作变量替换化为指数函数、解：令arcsinx=u，x=sinu，dx=cosudu，于是212原式=òsinu×ucosudu=òusin2udu22u2u20111sin2u-cos2u-sin2ucos2u24811211故原式=(-ucos2u+usin2u+cos