2015年相似三角形与圆.doc

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1、l相似三角形与圆1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足CF:FD=1:3，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③；④S△DEF=4．其中正确的是　　（写出所有正确结论的序号）．2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2,求∆ACE的外接圆的半径．3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直

2、径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，，求的值．4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标．5．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试证明：

3、EF2=4OD•OP；（3）若AC=12，，求CB的值．6．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及AB的值．l答案1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足CF:FD=1:3，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，

4、AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③；④S△DEF=4．其中正确的是　①②④　（写出所有正确结论的序号）．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2,求∆ACE的外接圆的半径．证明：（1）连接OC∵AB为⊙O的直径∴∠ACB=90

5、°∴∠ABC＋∠BAC=90°又∵CM是⊙O的切线∴OC⊥CM∴∠ACM＋∠ACO=90°∵CO=AO∴∠BAC=∠ACO∴∠ACM=∠ABC（2）∵BC=CD∴OC∥AD又∵OC⊥CE∴AD⊥CE∴ΔAEC是直角三角形∴ΔAEC的外接圆的直径为AC又∵∠ABC＋∠BAC=90°∠ACM＋∠ECD=90°而∠ABC=∠ACM∴∠BAC=∠ECD又∠CED=∠ACB=90°∴ΔABC∽ΔCDE∴=而⊙O的半径为3∴AB=6∴=∴BC2=12∴BC=2在RtΔABC中∴AC==2∴ΔAEC的外接圆的半径为3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，

6、AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，=，求的值．解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴OD⊥AC，∴=，∴AD=CD；（2）解：∵AB=10，∴OA=OD=AB=5，∵OD∥BC，∴∠AOE=∠ABC，在Rt△AEO中，OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3，∴DE=OD=OE=5﹣3=2，∴AE===4，在Rt△AED中，tan∠DAE===，∵∠DBC=∠DAE，∴t

7、an∠DBC=．4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标．解：（1）∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∴⊙M的半径为5；圆心M的坐标为（4，3）；（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图，∵BC与⊙M相切，AB为直径，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠CBO+∠ABO=9

8、0°，而∠BAO=∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBO，∴Rt△ABO∽Rt△BCO，∴=，即=，解得OC=，∴C点坐标为（﹣，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（0，6）、C点（﹣，0）分别代入，解得，∴直