变分原理的直接方法

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1、第7章变分问题的直接方法为了书写方便,我们在这里先引入内积空间和线性算子两个概念。1.内积空间H是复线性空间，H上定义一个两元函数xy,:HHC，xy,H满足xy,yx,(A)对称性，axbxy,axy,bxy,abC,,xx,H,(B)双线性，1212，12xx,0(C)正定性，，而且只有当x0时等号才成立,那么我们称该两元函数定义了线性空间H上的一个内积。定义了内积的线性空间称为内积空间。nnHR,xy,R,x(,xx,...,x),y(,yy,...,y)例7.1:12n12n，

2、那么下面定义的就是内积nxy,xyiii1[a,b]Cab[,](x),(x)H例7.2:H是定义在上连续函数所组成的线性空间，，那么下面定义的就是内积b,()()dxxxa通常，在连续函数空间中按如下来定义内积b,wx()()()dxxxaw(x)0其中是个权函数。2.线性算子A是定义在内积空间H上的一个线性映射A:H,AH；如果存在另一线性**,H,A,,A*映射A，使得，则A称为A的伴映射。当H是函数空间**时，A称为（线性）算子，A称为共轭算子；特别当AA，A称为对称算

3、子。如果当A,00对称算子A满足，并且等号仅当时成立，则A称为对称正定算子。7.1里兹方法（Ritz）f由线性对称正定算子A及函数所确定的一个线性泛函为(u)Au,u2f,u(7.1.1)该泛函的变分为2Au,u2f,u2Auf,u泛函极值问题(也就是变分问题)其所对应的Euler方程为Auf0(Auf)(7.1.2)不失一般性,我们假设泛函的边界条件是齐次的，否则我们总是可以通过函数变换来实现齐次的边界条件:uuu0u其中0非齐次的边界条件,那么u满足齐次的边界条件。u,u,...,u现选

4、定一组满足泛函齐次边界条件的函数序列12n,那么由该函数序列所张成的子空间为nUspan(,uu12,...,un)uu

5、auaii,iRi1该子空间上的每个函数都满足齐次边界条件.Uspan(,uu,...,u)里兹法的核心思想就是用上述函数序列所张成的一个线性空间12n来近似地替代原泛函的定义域空间，然后在线性空间U中找到一个使得泛函最小的一个u,u,...,u函数,该函数就是原问题的一个近似解。显然满足齐次边界条件的函数序列12n不是u,u,...,u唯一的，如果我们选择了比较合适的函数序列12n，而且该序列的个数足够多时(

6、当然函数序列的个数越多,其张成的子空间就越逼近原来的定义域空间)，那么里兹法所得到的近似解就能很好地逼近原问题的解。u,u,...,u具体地讲，由12n线性组合成的一个函数为n~uaiuii1aa,,...,a其中系数12n为待定的常数，对应的泛函为()uAuu,2fu,nnnAauii,auii2f,auiii1i1i1由于A是线性正定对称算子，那么nnn()uaAuii,auii2f,auiii1i1i1nnnaaijAuui,j2aifu,ii1j1i

7、1nnnAaaijij2faiii1j1i1式中AAuu,,ffu,ijijiiaa,,...,aaa,,...,a这是一个关于12n的一个二次型。选择的12n要使得该函数取到最小值，也就是说0,s1,2,...,nas从而有nAaisifs0,s1,2,...ni1aa,,...,a这是关于一个线性代数方程组。解此代数方程组后得到12n，由此得到原泛函极值问题(或者微分方程边值问题)的近似解为n~uaiuii1如果用向量的形式来表示TTuu1,2,...,un,aaa1,2,...,an

8、那么TuaTTT()a()uAaa2f,aTTaKa2aF其中K[K],KAuu,ijijijTFff1,2,...,fn,fifu,iK是nn的矩阵，F是n1向量。要使()a取到最小值，必须()a0a这也就是说KaF该方程的解为1aKF由于A是对称正定算子,可以证明K是对称正定矩阵,上述解必定存在。所以说，通过里兹法，我们可以把一个泛函的极值问题转化成一个函数的极值问题，求解该函数极值问题所对应的代数方程组，就可以得到原问题的近似解。里兹法的关键在于函数序列的选择,如果选择合适的

9、函数序列是该算法最核心之处。122Jy[](xy