自然变分原理

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1、§1.3变分原理§§1.3.11.3.1自然变分原理自然变分原理§§1.3.21.3.2修正泛函的变分原理修正泛函的变分原理§§1.3.11.3.1自然变分原理自然变分原理1.1.线性、自伴随微分算子线性、自伴随微分算子如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则：•不仅可以建立它的等效积分形式，并可利用加权余量法求其近似解；•还可建立与之相等效的变分原理，基于它的另一种近似求解方法——Ritz法。§§1.3.11.3.1自然变分原理自然变分原理线性、自伴随微分方程的定义：微分方程~Lu()~+b=0inΩL为微分算子

2、~L具有性质：Lu()α+βαu=+Lu()βLu()若~~~121~2则称~L为线性微分算子。§§1.3.11.3.1自然变分原理自然变分原理若∫~Luvd()~~Ω内积后，求积；Ω任意函数对上式分部积分，直至u的导数消失，得：*∫∫Luvd()Ω=uLvd()Ω+btuv..(,)~~~~~~~~ΩΩ边界项*称L为L的伴随算子。~~*若LL=则称算子是自伴随。~~§§1.3.11.3.1自然变分原理自然变分原理2.2.泛函的构造泛函的构造∀∈ΩxA()u≡L()u+=f0~~~~~~∀∈ΓxB()0u=~~~

3、利用利用GalerkinGalerkin（（伽辽金）伽辽金）格式TT∫∫δδuLufd(()+Ω)+uBud()Γ=0~~~~~~~ΩΓ因为算子是线性、自伴随的，所以：TT11T∫∫δδδuLu()=+Ω[uLu()uLud()]~~~~22~~~~~Ω§§1.3.11.3.1自然变分原理自然变分原理TT11T简单分解∫∫δδδuLu()=+Ω[uLu()uLud()]~~~~22~~~~~ΩΩ11TT=+Ω∫[(δδuLu)(uLud)].+btuu.(δ,)22~~~~~~~~分部积分Ω11TT=+Ω∫[(δ

4、δδuLu)uLud()].+btuu.(,)线性算子性质22~~~~~~~~Ω1T微分的计算性质=Ωδδ∫uLud()+btuu..(,)2~~~~~Ω§§1.3.11.3.1自然变分原理自然变分原理微分方程的等效积分形式：TT∫∫δδuLufd(()+Ω)−uBud()Γ=0~~~~~~~ΩΓTTT∫∫∫δδuLud()Ω+ufdΩ−δuBud()Γ=0~~~~~~~~ΩΩΓ1Tδδ∫uLud()Ω+btuu..(,)2~~~~~Ω整理得到：δΠ=01TTΠ=∫[(uLuufd)+Ω+]btu..()原问题的

5、泛函2~~~~~~Ω变分原理：变分原理是针对以下积分形式定义的标量泛函而言，∂∂uuΠ()uF=Ω∫∫(,udE,...)+Γ(,ud,...)∂∂xxΩΓ对于未知场函数u，任意一个微小的变化δu，使Π()u取驻值的u即为问题的控制方程及边界条件的解。§§1.3.11.3.1自然变分原理自然变分原理3.3.自然变分原理自然变分原理原问题微分方程和边界条件的等效积分的Galerkin提法等效于泛函取驻值。反之泛函取驻值则等效于微分方程和边界条件。这里泛函可以通过等效积分的Galerkin提

6、法得到。这种变分原理称为自然变分原理。例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中最小能力耗散原理，称为自然变分原理。例如，最小位能原理体系的总位能：1T应变能：∫∫UdΩ=Ωεσd2ΩΩTT外力势能：−∫∫ufdΩ−uTdΓΩΓ1TTT势能泛函：Π=()ud∫∫∫εσΩ−ufdΩ−uTdΓ2ΩΩΓ最小位能原理：真实位移使体系总位能取极小值，u即：δΠ=()u0§§1.3.11.3.1自然变分原理自然变分原理其中：ε()uL=uσ=DDε=Lu~~~~~~~~~~n~近似解：近似解：~u

7、≈u~=∑Niai=N~~a=[N1N2......Nn]~ai=1~~~~~=Na+Na+......+Na1122nn~~~~~~§§1.3.11.3.1自然变分原理自然变分原理⎧a1⎫其中：其中：⎪~⎪⎪⎪a=⎨#⎬a......a~~1~n待定参数向量（未知）待定参数向量（未知）⎪⎪a⎪⎩⎭n⎪~N......N1n试探函数矩阵（事先选定）试探函数矩阵（事先选定）~~⎡Ni00⎤⎢⎥N=0N0对三维问题对三维问题：：~i⎢i⎥⎢00N⎥⎣i⎦§§1.3.11.3.1自然变分原理自然变分原理泛函：泛函：1T

8、TTTTTΠ=~a∫(~LN~)D~LN~dV~a−~a∫N~fdV−~a∫N~T~ds2VVSσ∂Π∂Π∂Π变分：变分：δΠ=δa1+δa2+......+δan=0∂a1~∂a2~∂an~~~~δa,δa......δa12n相互独立，相互独立，~~~∂Π∂Π∂Π∂Π所以，所以，=0,=0,......,=0或或=0∂a∂a∂a∂a12n~~~~§§1.3.11.3.