变分原理基础_讲义

《变分原理基础_讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、变分原理基础罗建辉2009年夏季1能量原理能量原理是以能量形式表述的力学定律。概括地说，在所有满足一定的约束条件的可能状态屮，真实状态应使其能量取极值或驻值。泛函形式(变分)变分原理广义变分原理能量表述形式<函数形式(微分)单变量形式多变量形式本课程讨论结构力学、弹性力学、薄板的能量原理,只讨论线性平衡问题。2弹性系统真实平衡状态的能量特征举例从能量角度看，弹性系统的真实平衡状态具有如下的能量特征：即与其他可能状态相比，真实状态的能量为极值或驻值。对这一能量特征举几个简例。例0-1.弹簧系统真实平衡状态的能量特征图0—1所示

2、为一弹簧下端挂一重物。弹簧的刚度系数为重物的重力为用△表示位移，当弹簧系统处于平衡状态时，求得位移△的真解为⑷W=^°⑴真解的能量特征是弹簧系统的势能口卩为极小。现检验如下：式(2)右边第一项是弹簧的应变能，第二项是重力p的势能。系统势能口卩是位移△的二次式。由式(2)得IpP1n;,=-k(^__)2_一卩2k2k现考察真解的能量特征。显然，真解(1)使势能口〃取极小值。换一个角度，求口卩的一阶及二阶导数，得—=k-P(4)j2npdR-=k>0(5)将真解⑴代入式(4),得竺=0,故知势能口〃为驻值。根拯式(5),乂知

3、势能口〃为极小值。例0-2超静定梁真实平衡状态的能量特征图0—2d所示为一超静定梁，取图0—2b所示静定梁为其基本结构。根据平衡条件，基木结构的弯矩可表示为M=MlX}(6)其中是在荷载作用下基本结构的弯矩，Mx是在单位多余力X

4、=1作用下基本结构的弯矩，/是任意值。式(6)同时也是超静定梁满足平衡条件的可能弯矩，rti-Tx,是任意参数，因此超静定梁的口J能弯矩尚未唯一确定。为了确定/的真解，还必须应用变形协调条(7)/“(XJ頁.解+△“=()式中几=^LdxjEI试验证真解的能量特征是梁的余能从•为极小值，余能匕•的

5、农示式为cM2c1—9nr=——dx=——(M}X}+Mp)2dxcJ2EIi2EI]]卩余能耳是X

6、的二次函数，由式(9)得n(=-j—(mi2xi2+2mim2E>I10「M2dx=-[X2I—+2X]21JEI1(9)MXMf)dxr~El+』M2dxEIW2EI(10)=-[J11Xi2+2AIpXI+=近[(久/+△“)-△]+&J一由式(10河知变形协调条件⑺使余能兀取极小值。换一个角度，求匕的一阶及二阶导数，得jri(I—————(MiXi+Mp)Mldx=3nX^^p(11)(12)空J几＞0dxf由于真解满

7、足式⑺，代入式(11),得彳丄=0,故知余能比为驻值。根据式dX

8、(12),又知余能入为极小值。3基本能量原理两个基本原理：最小势能原理和最小余能原理。对应于结构力学中的位移法和力法两种基木解法对应于弹性力学中的位移法和力法两种基本解法最小势能原理一一在弹性平衡问题中，与一切满足位移边界条件（包括几何方程和位移边界条件）的可能位移相比，真实位移使势能为极小值。最小余能原理一一在几何连续问题中，与一切满足平衡条件（包括平衡微分程和外力边界条件）的口J能应力（或口J能内力）相比，真实应力（或真实内力）使余能为极小值。基本能量原理

9、提出得最早，起初是从物理概念上自然提出的，也称为自然能量原理。其中的最小势能原理以位移为基本变量，最小余能原理以应力为基本变量。总之，基本能量原理是取单类变量（位移或应力）作为基本变量的能量原理。4广义变分原理结构力学和弹性力学中的混合解法其基本变量是混合型的，例如混合选取位移｛“｝和应力9｝作为基本变量，又如混合选取位移仏｝、应变｛£｝、应力9｝作为基本变量。总之，在混合解法中所选取的基本变量不是单类变量，而是多类变量。广义变分原理与之对应，在能量原理中也有混合变分原理，也称多类变量变分原理，也称广义变分原理，由基木能量原

10、理推广而得到的能量原理。广义变分原理中最常用的冇两个，即Hellinge.Reissner变分原理（H—R原理）和胡海昌一鹫津变分原理（H—W原理）。其中H—R原理以位移｛町和应力9｝作为基本变量，H—W原理以位移韧｝、应变｛£｝、应力｛6作为基本变量。出基本能量原理推广而得到的能量原理。5能量原理的外部和内部的对应关系学习能量原理时，要注意左右沟通、前后呼应，清晰地了解其屮的经纬脉络和来龙去脉。现指出以下几种对应关系，包括与其他学科Z间的关系以及内部内容之间的关系。1.能量原理与泛函变分原理的对应关系本书讨论弹性结构静力分

11、析的能量原理。与它相关的学科还有结构动力分析的哈密尔顿原理，塑性力学的变分原理，流体力学某些问题的变分原理，最优控制问题的变分原理。这些屈于不同学科的原理各具特色，但在数学上都归屈于泛函变分原理。这里是个别与一般、具体与抽彖的关系。学习能量原理时要与泛函变分原理相联系，借鉴其通用的概念和方