最新变分原理.ppt

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1、第八章变分原理一、泛函分析中的一些概念在变分原理及有限元等数值方法中,要涉及到泛函分析中的一些概念。虽然有些概念在应用某数值方法求解问题时，并非必需，但是掌握它们对于深入研究数值法的理论，阅读有关文献专著，却有很大的益处。本节将根据需要，对某些概念作一简单介绍。（一）空间在引进空间的概念之前，我们先对线性空间等概念作简单回顾。1.线性空间定义1设是某些元素的集合，是实数（或复数）域。如果对中任何元素，定义了一种所谓“加法”运算及与的“数乘”运算，使属于，且具有性质：（1）；（2）　　　　　　　　；（3）存在所谓“零元素

2、”，使（4）对任何　　，都有一个相应的“逆元素”，使；（5）　　　　　　　　　　　；（6）；（7）；（8），则称是实数（或复数）域上的线性空间。例1　定义在上的一切连续函数的全体记作；若对任意两个元素，定义则空间是实线性空间，记作例2考虑有限空间（或区域）上平方可积函数，即使(1.1)成立的函数类，记作（或），对于，显然均属于，且满足性质（1）——（8），故（或）空间是线性空间。设为实数域上的线性空间，中的元素被认为是线性无关的，是指它们的线性组合只有当所有的实数都等于零才成立；否则就是线性相关。可以证明，如果元素组线

3、性相关，则其中至少有一个元素是其余元素的线性组合。任何含零元素的元素组都是线性相关的。如果实数域上的线性空间中有一组线性无关的元素，且中任一元素，都可以表成它们的线性组合，即(1.2)则称是的一组基底，其中称为基元素，实系数称为元素在这组基底下的坐标或投影。如果中的基元素个数是有限的，则称是有限维线性空间，否则称为无限维线性空间，有限维线性空间中基元素的个数称为的维数。2．线性赋范空间定义2设为实线性空间，如果对中每一个元素，都可以赋一个与相应的非负实数，且满足条件：（1），当且仅当时，，（2），（3），则称为线性赋范

4、空间，称为的范数或模。例3在前面已经讲过，对任意都可规定范数显然线性空间是线性赋范空间，例4对于，规定范数它显然满足条件（1）——（3），故是一线性赋范空间。通常，对线性赋范空间的任意二元素，称的范数为元素间的距离，记作，至此，我们可以看出，在第二章所讲述的最佳逼近问题是在线性赋范空间上的逼近问题。3．内积空间对内积的概念，我们并不陌生，这里，对于一般抽象空间，我们按下列定义引进内积。定义3设为实线性空间，若对，恰有一实数和它对应，满足（1）,当且仅当时,;（2）　　　　　　　　;（3）;（4）,则称为与和内积，而称为

5、内积空间。我们知道，在内积空间中，可定义的范数，因此所有的内积空间都是线性赋范空间。显然，在前面所阐述的正交概念，就是在内积空间上而引进的。例5对于维向量空间，定义加法和数乘运算：的内积定义为可证它满足内积公理，故为内积空间。例6对于，定义内积显然，它满足内积公理，故是内积空间。4．收敛性、完备性设是线性赋范空间，是中的点列。定义4如果对，存在正数，使当时，有则称为点列的极限，记为或此时说点列收敛于一点。可以证明，收敛点列的极限必是唯一的，而且收敛点列满足所谓条件：对，存在，使当时，有通常，我们把满足条件的点列叫做基本

6、列。可见，收敛点列必为基本列。特别指出，对实数域而言，一个极其重要的性质是上述命题反之亦然；即凡基本列必收敛，这叫做实数域的完备性。容易验证，内积空间也具有这种完备性，但是，并不是所有内积空间都是完备的。定义5若线性赋范空间的每个基本列都在中有极限存在，则称是完备的，完备的内积空间称为空间。完备的线性赋范空间称为空间。由此定义可知，是空间。显然，空间是一个具有内积运算的空间，它具有较空间更丰富的性质。设是内积空间的子集（记作），如果对任何，恒有，使，即中的任一点都能以中的点列来任意逼近，则称在中稠密，或称是的一个稠密子

7、集，可以证明，任何一个不完备的内积空间，总可以将它完备化，使之成为一个空间，详言之，有定理1任何内积空间均可由添加新元素的办法而作成一个空间，且使为的稠密子集。证明略。以后，若不加说明，均把空间认为是完备了的内积空间，即空间，简称空间。（一）算子的概念定义6设和为线性赋范空间的子集，若和建立了某种一一对应关系，即中任一元素对应于中的一个元素，则称为算子，算子所作用的集合，称为算子的定义域，记作；而中的元素被算子作用后所生成的元素集合，称为算子的值域，记为。例如（1）微分算子：是所有二次可微函数的集合，是微分后生成的函数

8、集合。（2）算子：是所有二次可微函数的集合，是微分后生成的函数集合。如果对任意的，算子具有性质(1)可加性：(2)齐次性：则称为线性算子。显然，算子是线性算子，线性代数方程组所对应的系数矩阵也是线性算子。而都是非线性算子。如果对任意，，算子满足条件则称为对称算子。例如，齐次边界条件的算子是对称算子，因为由公式可以推出如果对任意，存