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时间：2020-03-17
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1、第七章数学物理方程的变分原理第一节变分问题介绍1、古典变分问题分析：空间中的封闭曲线C。最小曲面问题就是求设曲面方程为u＝u（x，y）例：最小曲面问题设xy平面上有开区域Ω，其边界记为，在上给定条件,从而给出是上的已知函数张紧在曲线C上的曲面中，其面积最小的曲面。对应与u的曲面面积为故s是u的一个泛函，其中u所属的函数集合这样，最小曲面问题就可以写成如下的泛函极小问题变分问题：求泛函极值的问题1.2二次函数的极值（Rn中的变分问题）其中设二次泛函J在达到极小，则对于一切有.点达到极小，则在达到极小。反之,若显然有即点达到极小。一定条件下二次函数的极值问题与线性方程组问题等价第二节、一维数学
2、物理问题的变分问题uxxlAB0引理2.1（变分法基本引理）2.1两点边值问题的变分形式虚功原理特别地，取，则根据引理2.1，则进一步，则：自然边界条件，隐含在问题之中约束边界条件（本质边界条件）最小势能原理最小势能原理：一、第一类非齐次边界条件的定解：令，则ū满足：2.2、非齐次边界条件的处理Galerkin形式的变分问题：形式的变分问题为：其中其中将代入，得到Galerkin变分形式：非齐次边界条件问题的二、第二第三类边界条件问题：其中完全类似地，与方程作内积有对第一项分部积分，注意到v(a)＝0，得Galerkin变分形式：其中
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