§114 位移变分方程--最小势能原理.doc

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1、§11.4位移变分方程--最小势能原理学习要点:   本节讨论最小势能原理。首先根据虚功原理推导应变能的一阶变分表达式，然后根据任意几何可能位移场与真实位移场的总势能的关系，得到真实位移场的总势能取最小值的结论。   最小势能原理用数学方程描述：总势能的一阶变分为零，而且二阶变分大于零。   最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的面力边界条件，所以，对于一些按实际情况简化后的弹性力学问题，可以通过最小势能原理推导出其对应的平衡微分方程和面力边界条件。本节通过例题对此作了说明。   推导中设应变能密度

2、函数是应变分量的函数，因此最小势能原理是位移解法在变分原理中的应用。进入本节内容学习之前，应该首先学习有关泛函和变分的基础知识。学习思路：   1.总势能；   2.总势能的变分；   3.最小势能原理；   4.最小势能原理推导弯曲问题的平衡微分方程和面力边界条件；   5.最小势能原理推导扭转问题的平衡微分方程和面力边界条件。下面根据虚功方程推导仅应用于弹性体的最小势能原理。   设应变能密度函数是应变分量的函数，则应变能密度函数的一阶变分为   上式推导中，应用了格林公式，将上式代入虚功方程，则   上式表示外

3、力虚功等于弹性体应变能的一阶变分。定义外力势能为   注意到虚位移与真实的应力无关，因此在虚位移过程中外力保持不变，即变分与外力无关。而且积分和变分两种运算次序可以交换的，所以外力势能的一阶变分可以写作   回代可得                              其中Et称为总势能，它是应变分量的泛函。由于应变分量通过几何方程可以用位移分量表示，所以总势能又是位移分量的泛函。   公式表明，在所有几何可能的位移中，真实位移将使弹性体总势能的一阶变分为零，因此真实位移使总势能取驻值。以下证明:对于弹性体的稳

4、定平衡状态，总势能将取最小值。   将几何可能位移对应的应变代入总势能表达式，可以得到几何可能位移对应的总势能将上式减去真实应变分量的总势能，可得将按泰勒级数展开，并略去二阶以上的小量，有回代可得由于总势能的一阶变分为零，因此总势能的二阶变分为   由于   由于应变能密度函数为正定函数，即只有在所有的应变分量全部为零时其才可能为零，否则总是大于零的,因此   所以                                    以上证明了在所有的可能位移场中，真实位移场的总势能取最小值。所以这一原理称为最小势

5、能原理。数学描述即总势能的一阶变分为零，而且二阶变分是正定的（大于零）。   必须强调指出的是，真实位移与其他的可能位移之间的差别在于是否满足静力平衡条件，所以说最小势能原理是用变分形式表达的平衡条件。   通过总势能的一阶变分为零，可以推导出平衡微分方程和面力边界条件，这和虚功原理是相同的，即最小势能原理也等价于平衡微分方程和面力边界条件。   虚功原理和最小势能原理之间的差别在于：虚功原理不涉及本构关系，适用于任何材料，只要满足小变形条件；最小势能原理除了小变形条件之外，还需要满足应变能密度函数表达的本构关系，因

6、此仅限于线性和非线性弹性体。   最后，将最小势能原理完整的叙述为：在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值。该方法是以位移函数作为基本未知量求解弹性力学问题的。当然，选择的位移函数必须是在位移已知的边界上满足位移边界条件，对于面力边界是不需要考虑的，因为面力边界条件是会自动满足的。例2：图示直梁，分布载荷q(x)作用在轴线所在的铅垂平面内。用最小势能原理推导问题的平衡微分方程和面力边界条件。解:该梁为超静定结构。在梁的端面，施加适当的约束使梁不能产生刚体位移，施加适当的剪力和弯矩，使梁保持平衡。   设w(

7、x)表示梁的挠度，r表示梁轴线变形后的曲率半径，则梁的应变能为       由于,并且注意到对于小变形问题，所以上式可以写作      本问题的面力边界为梁的上下表面，作用分布载荷q(x)，则外力功为   梁的总势能为对上式作一阶变分并且令其为零，有整理可得因此                  上述关系式的第1式即问题的平衡方程，第2，3和4式为梁边界条件。   以上根据最小势能原理推导出梁的弯曲问题对应的平衡微分方程和面力边界条件。例3：应用最小势能原理推导柱体扭转问题的基本方程和边界条件。解：对于柱体扭转的位移

8、解法，位移分量用扭转翘曲函数表示为与上述位移分量对应的应力分量为由于其他的应力分量全部为零，所以柱体的应变能为令                        则                                                     。   由于柱体的侧表面不受外力的作用，不存在外力功的问题。在端面上，作用有扭