位移变分方程.ppt

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1、§5－5位移变分方程在位移变分法中，所取泛函为总势能，其宗量为位移状态数，。现在来导出位移变分方程。⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）⑵用位移表示的应力边界条件（在上）⑶位移边界条件（在　上）。实际位移(a)其中⑴、⑵属于静力平衡条件，⑶属于约束条件。对于实际位移，可将⑶看成是必要条件，而⑴、⑵是充分条件。1.实际平衡状态的位移、，必须满足2.虚位移状态⑴虚位移（数学上称为位移变分），表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，如图所示。虚位移应满足上的约束边界条件，即虚位移(b)（在上）。虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的

2、。因此，虚位移状态就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态。(c)虚位移微分─是在同一状态下，研究由于位置(坐标)改变而引起函数的改变。其中的自变量为坐标变量x,y；而因变量为函数，如位移，有(d)⑵变分与微分的比较变分与微分变分─是在同一点位置上，由于状态改变而引起泛函的改变。其中的自变量为状态函数，如位移；而因变量为泛函，如，，，有变分与微分(e)由于微分和变分都是微量，所以a.它们的运算方式相同，如式(d)，(e)；b.变分和微分可以交换次序，如变分与微分(f)当发生虚位移（位移变分）时，虚位移上功和能由于虚位移引起虚应变，外力势能的变分：外力的虚功（

3、外力功的变分）：3.在虚位移上弹性体的功和能形变势能的变分，即实际应力在虚应变上的虚功,由于实际应力在虚应变之前已存在,∴作为常力计算，故无系数。虚位移上功和能(j)（1）在封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中形变势能的增加应等于外力势能的减少（即等于外力所做的虚功）。∴位移变分方程4.弹性力学中位移变分方程的导出（2）位移变分方程─将式(g)的代入上式,得它表示，在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。位移变分方程位移变分方程它表示，在实际平衡状态发生虚位移时，外力在

4、虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。（3）虚功方程─将式(j)的代入上式，得其中─形变势能的变分，如式(j)所示，─外力功的变分，如式(g)所示。位移变分方程（4）最小势能原理─式(k)可写成其中U─弹性体的形变势能，如§5-4式(d),W─弹性体的外力功，如§5-4式(a)。可以证明，式(n)可以写成为证明如下：位移变分方程由于弹性体的总势能为故式(o)可以表示为再将总势能对其变量（位移或应变）作二次变分运算，可得综合式(p)，(q)，即得(p)(q)(r)位移变分方程位移变分方程这就是最小势能原理。它表示在给定的外力作用下，在满足位移边界

5、条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能为极小值。最小势能原理：数学表示如图(a)，物理意义如图(b)uu（实际位移）(a)(b)（5）位移变分方程的又一形式─式(l)中可化为又一形式应用分部积分公式和格林公式（其中s为平面域A的边界，l，m为边界外法线的方向余弦），可将进行转换。又一形式∵在上，虚位移，∴对其余几项进行同样的转换，并代入式(),可得又一形式的位移变分方程：又一形式例如，对第一项计算，(s)因，都是任意的独立的变分，为了满足上式,必须（在A中）(v)（在上）(w)又一形式由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边

6、界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。⑴实际平衡状态的位移必须满足a.上的约束(位移)边界条件；b.上的应力边界条件；c.域A中的平衡微分方程。5.结论结论⑵位移变分方程可以等价地代替静力条件b,c。结论⑶由此得出一种变分解法，即预先使位移函数满足上的位移边界条件，再满足位移变分方程，必然也可以找出对应于实际平衡状态的位移解答。