0.5最小势能原理与ritz法

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1、0.5最小势能原理与Ritz法依据弹性理论分析构件的应力时，一般总是从构件的连续性出发，依据微元体的物理模型，建立以微分方程式表述的数学模型，然后求解微分方程式获得问题的解。弹性力学的基本方程是以偏微分方程组表示的，弹性力学问题的本质则是求解偏微分方程的边值问题。从理论上讲，弹性力学能解决一切弹性体的应力和应变问题。但在工程实际中，一般构件的形状、受力状态、边界条件都比较复杂，大大增加了偏微分方程边值问题的复杂性，所以只有少数的典型问题可以用弹性力学的基本方程直接进行解析求解，对大多数工程实际问题，往往只能采取各种近似方法或者渐近方法通过数值计算来求得其近似解。对于一个

2、具体问题，主要采用直接刚度法、变分原理和加权余量法建立有限元方程，总体来说都是将偏微分方程的边值问题转换为代数方程求解的方法。在弹性力学中，主要有四个变分原理：虚位移原理、最小势能原理、虚应力原理和最小余能原理。最小势能原理如下陈述：在一个保守系统的所有可能位移场中，真实位移场的总势能取最小值。对于满足广义Hooke定律的线弹性材料，其势能可表达为：1TTTΠ=−UW=∫{ε}[D]{ε}dV−∫{u}{F}dV−∫{u}{p}dS。2VVS最小势能的数学描述即总势能的一阶变分为零，且二阶变分是正定的（大于零），2δΠ=0,δΠ>0。即1TTTδδεΠ=∫∫∫{

3、}[D]{ε}dV−{u}{FdV}−{u}{pdS}=02VVS必须强调指出的是，真实位移与其他的几何可能位移之间的差别在于是否满足静力平衡条件，即平衡方程和面力边界条件。通过总势能的一阶变分为零，可以推导出平衡微分方程和面力边界条件，所以说最小势能原理是用变分形式表达的平衡条件，也意味着最小势能原理等价于平衡微分方程和面力边界条件。根据最小势能原理所述，如果列出所有的几何可能位移，那么使总势能Π取最小值的那一组位移就是真实位移。问题是列出所有几何可能的位移是非常困难的，甚至是不可能的。因此，对于实际问题的计算，只能凭借经验和直觉缩小寻找范围，在这个范围内的一族几

4、何可能的位移中，找到一组位移使得总势能Π最小。虽然这一组位移一般的说并不是真实的，但是可以肯定，它是在这个缩小的给定范围内部，与真实位移最为接近的一组位移，由此解答可以作为近似解。最小势能原理是弹性力学问题近似解法的基础，本节介绍基于最小势能原理的近似解法:瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法。从上述思想出发，在一般情况下，可以将位移分量选择为如下的形式nuu=0+∑Aummm=1nvv=0+∑Bvmmm=1nww=0+∑Cwmmm=124其中，ABC,,均为任意的常数；uvw,,以及uvw,,都是坐标的已知函数，并且在位移边mmm000mmm界

5、S上，有u这样构造的位移试函数，不论系数ABC,,取何值，总是满足位移边界条件的。而且对于连mmm续函数，必然满足几何方程。因此满足几何可能位移的条件。现在的问题是将要如何选择待定系数ABC,,，使得总势能Π在位移表达式表示的这一族位移中mmm取最小值。为此，将位移表达式代入几何方程求得应变分量，然后代入总势能Π的表达式，注意到应变能密度函数是应变分量的齐二次函数，因此总势能Π表达式的第一个积分成为待定系数ABC,,的mmm齐二次函数，而第二和第三个积分为ABC,,的一次函数。于是，总势能Π原本是自变函数的泛mmm函，现在成为待定系数ABC,,的二次函数。mmm这样就把

6、求解泛函的极值问题，转化成为求解函数的极值问题。总势能Π取极值的条件为∂Π∂Π∂Π=0，=0，=0∂A∂B∂Cmmm总势能Π取极值的条件又可以写作∂UdV−−=FudVpudS0∫∫∫0∫∫∫xm∫∫xm∂AmVVSσ∂UdV−−=FvdVpvdS0∫∫∫0∫∫∫ym∫∫ym∂BmVVSσ∂UdV−−=FwdVpwdS0∫∫∫0∫∫∫zm∫∫zm∂CmVVSσ上述公式是一组以ABC,,（m=1，2，3…）为未知数的线性非齐次代数方程组，求解方程可mmm得待定系数，回代就可以得到近似位移解答，这一方法称为瑞利—里茨（Rayleigh-Ritz）法。例：两端简支的等截面梁，

7、受均匀分布载荷q作用如图所示。试求解梁的挠度wx()。25解：首先使用瑞利—里茨法求解。为了满足梁的位移边界条件，即简支梁两端的约束条件:在x=0和l处，w=0，取位移试函数，即挠曲线方程为mπxw=∑Cmsinml问题的总势能为ll22EIdwΠ=dx−qwdx∫∫2200dx4EIπ422qlCm即Π=3∑∑mCm−4lmmmπ=1,3,5∂Π根据=0,所以∂Cm44ql所以：C=（m为奇数）m55EIπmC=0（m为偶数）m441qlmxπ回代到位移公式，可得w=55∑sin。EIπm=1,3,5,ml挠曲线表达式是