结构力学-虚功原理、最小势能原理解题示例

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1、最小势能原理、虚功原理解题示例最小势能原理：在给定外载荷的作用下，对于稳定平衡系统，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际位移使弹性系统的总势能最小。例2.1如图2.1所示桁架结构，各杆的横截面积均为A，弹性模量均为E，在节点1处作用水平集中力P，试用最小势能原理求各杆的内力。图2.1解：令在外力作用下，节点1在x向的位移为，在y向的位移为。则有：杆号杆长杆变形1-22.5a1-32.236a1-42.236a杆应变能的表达式为：则系统的总势能为：由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：即：解得：杆的内力可由公式：求得，故各杆的内力为：

2、例2.2如图2.2所示的梁，其上作用有均布载荷q，试用最小势能原理求其挠度曲线。图2.2解：令梁的挠度函数为，它必须满足以下几个条件：1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；2、由于有均布载荷q的作用，故应为x的4次多项式。故，考虑到梁左侧为固支，可设：梁右侧需满足：且梁右侧没承受弯矩，有：（力的边界条件）代入边界条件，有：等截面梁的弯曲应变能表达式为：【根据平面假设，梁在受弯曲变形后，其横截面仍保持为平面，它一方面有挠度，一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度，由于该转角的存在，使得距离中性轴为y处的x方向的位移为，应变，

3、弯曲应力为，因此，等截面梁的弯曲应变能为：】则系统的总势能为：由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：又：【】由于变分可取任意值，故有：所以：虚功原理：当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时，对任意为约束所容许的虚位移，外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。例2.3试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。图2.3解：令在外载荷P作用下，梁的转角为，则各杆的变形为：给梁施加一个虚位移：则外力虚功为：虚应变能为：由虚功原理，有：，即：故梁的位移为：图2.4【虚功原理的其它例题可参见理论力学（静力学）第四章第7节】例2.2若用虚功原理求解

4、，其步骤如下：解：令梁的挠度函数为，它必须满足以下几个条件：1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；2、由于有均布载荷q的作用，故应为x的4次多项式。故，考虑到梁左侧为固支，可设：梁右侧需满足：且梁右侧没承受弯矩，有：代入边界条件，有：等截面梁的弯曲应变能表达式为：给梁施加一个虚位移：则其外力虚功为：虚应变能为：由虚功原理，有：，即：由于虚位移是任意的，故：所以：【由此可以看出，虚位移原理和最小势能原理是一致的，都是从能量的角度来阐述超静定结构在平衡状态所需满足的条件，即用能量方程来替代变形协调条件。在做题时，个人觉得最小势能

5、原理具有更好的操作性。】