一类函数微分方程的解析解

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1、第16卷第3期工　科　数　学Vol.16,№.32000年6月JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYJun.2000一类函数微分方程的解析解熊维玲(广西工学院基础部,柳州545005)[摘　要]本文研究了函数微分方程f′(pz)=qf(z)f′(z)的解析解.[关键词]函数微分方程;解析;解析解[中图分类号]O174[文献标识码]A[文章编号]100724120(2000)03200572051　引言及主要结果[1,2,3,4]对于函数方程或函数微分方程解的存在性问题不少文献都进行了研究.在文[3]中,李泽民研究了函数微分方程f′(z+w)=f(z)f

2、′(w)+f′(z)f′(w)(1)的解析解的存在性问题.若令w=z,则方程(1)化为方程f′(2z)=2f(z)f′(z).(2)本文将研究比(2)更为广泛的函数微分方程f′(pz)=qf(z)f′(z)(q≠0,ûpû≥2)(3)的解析解的存在性问题.主要结论如下.定理　对任意的复数p,q,若q≠0,ûpû≥2,则方程(3)在原点的某一邻域内存在非线性解析解.并且,其解析解有且只有如下几种形式:(i)f(z)=c,c为常数;m2mkm(ii)f(z)=c0+cmz+c2mz+⋯+ckmz+⋯,m-1其中c0≠0,cm≠0,m≥2,p-qc0=0,cn满足n-1n-1m-1n(

3、p-p)cn=q∑(n-j)cjcn-j,j=1且当n≠km,k∈N∪{0}时cn=0;n(iii)f(z)=c0+c1z+⋯+cnz+⋯,其中c0q=1,c1≠0,cn满足n-1n-1n(p-1)cn=q∑(n-j)cjcn-j,n=2,3,⋯.j=1注　方程(1)与方程(3)不是等价的.例如,当p=2,q≠2时,(1)与(3)的公共解只有常数解一种.而由定理(3)必有非线性解析解.[收稿日期]1999206207[基金项目]广西工学院科研基金资助项目58工　科　数　学　　　　　　　　　　　　　　第16卷2　几个引理∞[5]n引理1　幂级数∑cn(z-a)的和函数f(z)在其收

4、敛圆K:ûz-aû

5、故c2=0.设n≤k时,cn=0.当n=k+1时,由(4)式有kk(k+1)(p-0)ck+1=q∑(k+1-j)cjck+1-j=0,j=1故ck+1=0.根据数学归纳法,对一切自然数n,均有cn=0.引理2得证.引理3　设ûpû≥2,m∈N,则当n>m时有n-1n-1m-1n(ûpû-ûpû)≥∑(n-j).j=1n-1n(n-1)证　因为∑(n-j)=,故只需证明j=12n-1m-1n-1ûpû-ûpû≥.(5)2tt-1t首先,利用数学归纳法,容易证明:对任意自然数t有ûpû-ûpû≥.因此,对于(5),当n=m+12时有(m+1)-1m-1mm-1m(m+1)-1ûpû

6、-ûpû=ûpû-ûpû≥=22(m+k)-1m-1(m+k)-1设n=m+k时有ûpû-ûpû≥,则当n=m+(k+1)时有2(m+k+1)-1m-1m+km-1m+k-1m-1m-1ûpû-ûpû=ûpû-ûpû≥ûpû+ûpû-ûpû2m+k-1m-1m+k-1m+k=ûpû+ûpû(ûpû-1)≥ûpû≥m+k-1≥222(m+k+1)-1=.2根据数学归纳法,对一切自然数n,当m

7、解,由引理1,设nf(z)=c0+c1z+⋯+cnz+⋯,z∈D.(6)将(6)代入(3)并比较同次幂的系数,得nn-1npcn=q∑(n+1-j)cj-1cn-j+1,n=1,2,⋯.(7)j=1由(7)有　c1=qc0c1n-1n-1n(p-qc0)cn=q∑(n-j)cjcn-j,n=2,3,⋯.(8)j=11°当c0=0时,由引理2有cn=0,n=1,2,⋯,故f(z)≡0.2°当c0≠0时,由于c1=qc0c1,所以c1=0或1-qc0=0.n1)当c1=0,1-qc0