一类非线性偏微分方程的解析近似解.pdf

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1、第5期总第２39期农业科技与装备Ｎｏ.5ＴｏｔａｌＮｏ．２39２０１4年5月ＡｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ＆ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄＥｑｕｉｐｍｅｎｔMay２０１4一类非线性偏微分方程的解析近似解徐鹏（辽宁省农业机械化研究所，沈阳110161）摘要：应用同伦分析法研究一类非线性偏微分方程的解析近似解问题。通过选取合适的线性辅助算子和初始值，引入适当的辅助参数和辅助函数来调节、控制级数解的收敛区域与收敛速度，即可求得一类非线性偏微分方程的解析近似解。该方法为非线性偏微分方程的求解开辟了一个全新的途径。关键词：

2、非线性；偏微分方程；同伦分析法；解析近似解中图分类号：O175.8文献标识码：Ａ文章编号：1674-1161（2014）０5-0044-04随着科学技术的发展，非线性问题的研究在自然角毛细流动时，建立如下的动力学方程：科学和社会科学领域的作用越来越重要。物理、化学、鄣S（x,t）鄣S1/2（x，t）鄣S（x,t）=B鄣鄣（1）生物、工程技术甚至经济研究等领域都存在着大量的鄣t鄣x鄣x非线性问题，这些问题可用非线性常微分方程或非线式中：S（x,t）为不同时刻下，容器x位置处的液体性偏微分方程来描述。因此，如何求解这些非

3、线性方横截面面积；B为与容器形状及液体性质有关的参程，成为广大数学和科技工作者致力研究的一个重要数，该参数为一常量。课题。对于非线性偏微分方程，提出和发展了许多数Weislogel通过试验发现，在不同时刻下，x=0位值与近似解析解计算方法，如差分法、优化算法、反散置处液体的高度始终不变，即该截面的液体横截面面射法、齐次平衡法、函数变换法、多指数函数法和有理积为常量：函数变换法等。然而，非线性偏微分方程的求解是很S（0,t）=S0（2）困难的，而且没有统一而普适的方法，以上的解析解在t时刻，液体的前缘运动到图1中的A点

4、，该方法也只能具体应用于某个或某些非线性偏微分方处的x方向坐标为xf（t）。由图1可知，在该时刻下，程的求解，因此，继续寻找一些有效可行的方法仍是x≥xf（t）处的液体横截面面积为零，即：一项十分重要的工作。S（x,t）=0x≥xf（t）（3）图1为一内角流动模型。在t=0时刻，液体的前缘位置为xf（0）=xf0。由魏月兴等人的研究可知，液体的体积流速为：y1/2鄣S（x,t）q（x,t）=-BS（x,t）（4）鄣xS
在任意时刻t时，内角处的液体体积增量等于x=0截面处液体的体积流速在时间[0,t]上的积分，即：O

5、

xfxf0tS（x
，
t）

乙S（x，t）dx-乙S（x，0）dx=乙q（0，t）dt（5）zxA000xxx
f（t）魏月兴等人在满足边界条件（2）和（3）以及限制条件（5）时，应用求解热传导的方法得到了方程（1）的近似解。本文应用同伦分析法对方程（1）这类非线性图1内角流动模型Figure1Cornerflowmodel偏微分方程进行求解，并给出级数解的递推公式。1基本思想魏月兴等人在研究图1所示的微重力下容器内设无量纲变量u=x/xf（t），由于在毛细流动过程中液体横截面的面积恒为正，设：

6、收稿日期：2014-02-052S（x，t）=S0f（u）（6）作者简介：徐鹏（1970—），男，工程师，从事农业机械设计与则非线性偏微分方程（1）变为：研制工作。２０１4年第5期徐鹏：一类非线性偏微分方程的解析近似解451/2y（x）=1-γu+（γ-1）u2（19）20-uf′（u）xf（t）x觶f（t）=BS0[2f′（u）+f（u）f″（u）]（7）式中：γ为未知常数。22·式中：（′）=d（）/du；（″）=d（）/du；（）＝d()/dt。下利用泰勒展开定理，将Φ（u;q）展开成关于q的同。幂级数：边界条

7、件为：∞n1u=0Φ（u；q）=f0（u）+移fn（u）q（20）f（u）=≥（8）n=10u≥1其中：则限制条件（5）变为：n11/2tfn（u）=1鄣Φ（u；q）│q=0（21）（t）-x2（u）du=-BS-1（t）dt（9）n!鄣qn[xff0]乙f0f′（u）│u=0乙xf00如果辅助参数h、辅助函数H（u）和未知常数γ由方程（7）可知，xf（t）dxf（t）/dt必为常数，设：选取合适的值，则当q=1时，式（20）能够收敛，则可xf（t）=xf0姨1+vt（10）得：1/22式中：v=4BS0β/xf0；

8、β为待定常数。-∞mf（u）=f0（u）+移fn（u）≈f0（u）+移fn（u）（22）将式（10）带入到方程（7）和（9）中，则可将方程n=1n=1（7）转变为非线性微分方程：式（22）必定是非线性方程（11）的某一个解。定义2f（u）f″（u）+2f′（u）+2βuf′（u）=0（11）矢量：限制条件（9）简化为：Fm=｛f0（u），f1（