关于一类分数阶微分方程问题的可解性

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1、摘要关于一类分数阶微分方程问题的可解性专业：数学与应用数学学号：5501109016姓名：胡雪莲指导老师：张小芝摘要研究分数阶微分方程边值问题对解决非线性问题有重要的意义。本文利用不动点定理，压缩映射原理的理论研究如下的非线性分数阶微分方程边值问题：解的存在性，其中，，是个实数，,为标准的Riemann-Liouville导数.关键词：分数阶微分方程，边值问题，格林函数，不动点定理AbstractThesolvabilityofaclassfractionaldifferentialequationAbstractItisimportantforsolvingn

2、onlinearproblemstodiscusstheboundaryvalueproblemoffractionorderdifferentialequation.Inthiswork,weusethefixedpointtheoremandcontractingmappingprincipletofigureouttheboundaryvalueproblemsofnonlinearfractionorderdifferentialequationasfollows:Weprovetheexistenceofthesolution,here,,,isare

3、alnumber,,andisthecanonicalRiemann-Liouvillederivative.Keywords:fractionorderdifferentialequation,boundaryvalueproblem,greenfunction,fixedpointtheorem.II目录目录摘要IAbstractII第一章引言1第二章预备知识3第三章主要结论63.1格林函数63.2主要结果7第四章应用举例11结束语13参考文献14致谢16II第一章引言第一章引言分数阶微分方程是伴随分数阶微积分学一起发展起来的学科，早在1695年，整数阶微积

4、分还是处在发展时期，就开始了对分数阶微积分和分数阶微分方程的讨论和猜想，许多数学家在这领域中多做出了巨大的贡献，如Laplace,Liouville,Riemann等.如今,分数微积分和分数级微分方程发展迅速，有关这类的许多问题研究也越来越多的受到人们的关注.除了在数学各方面的应用，分数阶微分方程还在流体力学[1]，流变学，粘弹性力学，各种电子回路，生物系统的电传导，神经的分数模型以及回归模型，分数控制系统等有广泛的应用。分数阶微分方程研究是一个古老而又崭新的课题，是近年来得到关注的国际热点方向之一。1974年出版了第一本分数微积分的专著[2]，1982年B.B

5、.Mandelbrot[3]首次指出自然界和许多技术科学中存在大量分数维的事实并在整体与部分之间存在着自相似现象之后，分数阶微积分成为研究分形几何与分数维动力学的有力工具。对该课题的研究加深了我们对非线性方程的认识，从而使我们更深刻地了解了非线性方程的相关理论。近期，一些学者应用非线性分析的方法，研究分数阶微分方程边值问题的一个或多个正解的存在性，文献[4]研究了分数阶微分方程边值问题：正解的存在性，其中α是实数。应用格林函数的性质构造了锥，从而应用一些不动点定理得到了正解的存在性。文献[5]研究了奇异边值问题：其中，为非负连续函数，利用不动点定理，探讨了该方程

6、正解的存在性.文献[6]研究了分数阶微分方程：其中，f为非负连续函数，通过应用锥上的不动点定理，得到其至少有一个正解的存在性。在已有的文献中，讨论的分数阶微分方程中α的范围大多是或15第一章引言，边值条件也有所不同，本文利用不动点定理，讨论下列非线性分数阶微分方程边值问题：的可解性，其中，α为实数，是标准的黎曼——刘维尔（Riemann-Liouville）分数阶导数，是连续的.本文由四章组成，主要内容如下：第一章介绍了分数阶微分方程的研究背景和发展状况，并简要介绍本文的主要工作；第二章介绍了预备知识，主要有基本概念及相关的定义引理，如分数导数和分数积分的基本性

7、质，一些重要的不动点定理等；第三章计算了方程相关的格林函数并利用相关定理证明了方程及边值问题解的存在性；第四章举例说明所得的结论及结果的作用及可行性.15第二章预备知识第一章预备知识分数阶微积分是针对整数阶微积分提出来的，在分数阶计算中，我们可以把“分数阶积分”理解为“n重积分”的推广，同样也可以把“分数阶微分”理解为“n阶导数”的推广，分数阶积分和微分的定义都有几种不同的形式，并且都有各自不同的应用领域。总的来说，分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论。分数阶导数的定义主要有Grunwald—Letnikov，Liemann-Liouville，Caputo

8、导数三种形式.在这章节里