一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性new

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1、第29卷第6期长春师范学院学报(自然科学版)2010年12月Vol
29
No
6JournalofChangchunNormalUniversity(NaturalScience)Dec.2010一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性胡卫敏,苏比哈提(新疆伊犁师范学院数学系,应用数学研究所,新疆伊宁
835000)[摘
要]利用Schauder不动点定理给出下面非线性分数阶微分方程边值问题
D0+u(t)=f(t,u(t)),0

2、uville微分。[关键词]分数阶微分方程;格林函数;Schauder不动点定理;边值问题[中图分类号]O175
08


[文献标识码]A


[文章编号]1008-178X(2010)06-0001-030
引言分数阶微分方程的研究是一个古老而又崭新的课题,是近年来得到关注的国际热点之一.1974年了第一[1][2]本分数微积分的专著问世.1982年B.B.Mandelbrot首次指出自然界和许多技术科学中存在大量分数维的事实,并在整体与部分之间存在着自相似现象之后,分数阶微积分成为了研究分形几何与分数维动力学的有力[3]工具.此后,分数微积分与分数微分方程无论在应用还是在

3、理论上都有飞速发展,并在扩散和运输理论、混沌[4][5-7][8]与湍流、高分子材料的解链、粘弹性力学及非牛顿流体力学等诸多领域得以应用.本文利用Schauder不动点定理给出下面非线性分数阶微分方程边值问题
D0+u(t)=f(t,u(t)),00阶Riemann-Liouville积分是指
-1

4、t(t-s)I0+h(t)=#0h(s)ds.(
)其中右边是在(0,!)上逐点定义的.[9]定义1.2
函数y:(0,!)∀R的
>0阶Riemann-Liouville微分是指1dnt
n-
-1D0+y(t)=#0(t-s)y(s)ds,(n-
)dt其中n=[
]+1,[
]代表
的整数部分,右边是在(0,!)上是逐点定义的.[收稿日期]2010-09-05[基金项目]新疆维吾尔自治区高校科研计划重点项目(XJEDU2008I35)。[作者简介]胡卫敏(1968-),男,新疆伊犁人,新疆伊犁师范学院数学系,应用数学研究所教授,从事微分方程理论及应用研究。∃1∃[9]

5、引理1.1
假定u%C(0,1)&L(0,1)以及其
>0分数阶导数属于C(0,1)&L(0,1),那么


-1
-2
-NI0+D0+u(t)=u(t)+c1t+c2t+∋+cNt,ci%R,i=1,2,∋,N.其中N是大于或等于a的最小整数.应用引理1.1很容易得出下面的引理.引理1.2
给定h%C(0,1)且3<
4,分数阶微分方程
D0+u(t)+h(t)=0,0

6、t(1-s),0ts1.(
)令X=C[0,1],其范数(u(=max{

7、u(t)

8、:t%[0,1]},易知(X,(.()是Banach空间.在本文中做以下假设:k(H1)设f在[0,1])R∀R上连续,存在一个非负函数a(t)%L[0,1],使得

9、f(t,x)

10、a(t)+c

11、x

12、,其中c>0,0

13、der不动点定理)若U是Banach空间X的一个有界闭凸子集,且T:U∀U是全连续的,则T在U中至少有一个不动点.2
主要结果定理2.1
假设条件(H1)成立,则分数阶微分方程边值问题(0-1)至少有一个解.证明:运用Schauder不动点定理.2c1


由假设(H1)成立,为证明方便,记rmax{()1-k,2M},其中(
+1)1


M=max#0

14、G(t,s)a(s)

15、ds.定义空间U={u(t):u%X,(u(r,t%[0,1]},易知U是Banach0t1空间(X,(.