§1、3 傅氏变换的性质及其应用

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1、§1、3傅氏变换的性质及其应用+∞−jωt【复习】傅氏变换：F()ω=ℱ[(ft)]=∫f()tedt,−∞1+∞−1jωt傅氏逆变换：f()t=ℱ[(Fω)]=∫Fe()ωdω，2π−∞1+∞+∞⎡⎤−jωτjωt傅氏积分公式：ft()=f(τ)edτedω（t为f(t)的连续点），2π∫∫−∞⎢⎥⎣⎦−∞常用的傅氏变换：（1）ℱ[(δt)]=1；（2）ℱ[(δtt−=)]e−itω0；0（3）ℱ[1]=2πδω()；（4）ℱ[]e−itω0=2πδω(−ω)；0（5）ℱ[sinωt]=+j(π[δωω)−δ(ω−ω)]；000（6）ℱ[cosωt

2、]=π[δω()++ωδ(ω−ω)]；000⎧0,t<0;1（7）单位阶跃函数ut()=⎨的傅氏变换为ℱ[(ut)]=+πδω()；⎩10t>jω−βt⎧et,0≥;1β−jω（8）指数衰减函数ft()=⎨（β>0）的傅氏变换为F()ω==．22⎩0,t<0β++jωβω+∞+∞常用的广义积分：（1）et−jωtd2=πδω()；（2）et−−j(ωω0)td2=πδω(−ω)．∫−∞∫−∞0一、傅氏变换的性质这一节，我们将介绍傅氏变换的几个重要性质．介绍性质之前，提出几点声明：为方便起见，假定在这些性质中，凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理

3、中的条件．在证明这些性质时，不再重述这些条件．并且从现在开始，为了方便编辑，下述傅氏变换记号“ℱ”改记为“F”．本节介绍的是古典意义下的傅氏变换的一些性质．对于广义傅氏变换来说，除了象函数的积分性质的结果稍有不同以外，其它性质在形式上也都相同，但不同的是变换中的广义积分是按教材（1.15）式来决定的，而不是普通意义下的积分值．1、线性性质设Ff()ω=F[(t)]，Ff()ω=F[(t)]，α,β为常数，则1122（1）F[αft()+=βαf(t)]F()ω+βF(ω)；1212−1（2）F[(αωFF)+=β(ω)]αf(t)+βf(t)．121

4、2+∞−jωt证明：（1）F[αβf(tf)(+=t)][αβf(tf)(+t)]edt12∫12−∞+∞+∞−−jjωωtt=+αβf()tedtf(te)dt=αF()ωβ+F(ω)；∫∫−∞12−∞1211+∞−1jωt（2）F[(αFFωβ)+=(ω)][(αFFωβ)+(ω)]edω12∫122π−∞11+∞+∞jωtjωt=⋅αFe()ωωd+β⋅F(ω)edω=αf()t+βf(t)．∫∫121222ππ−∞−∞这个性质表明函数线性组合的傅氏（逆）变换等于各函数傅氏（逆）变换的线性组合．例1、求下列函数的傅氏变换πt⎧−1,t<0;（1

5、）ft()=sin(5t+)【上节作业Ex.12】；（2）符号函数sgnt==⎨3

6、

7、t⎩1,t>0.ππ13解：（1）f(tt)=+sin5coscos5tsin=sin5t+cos5t，332213故Ff(ω)==FF[(t)][sin5t]+F[cos5t]2213=+jπδ[](ω5)−δ(5ω−)+π[]δ(ω+5)+δ(5ω−)22π=+[(3jj)δω(+5)+(3−)δω(−5)]；2⎡⎤12（2）sgntu=−2(t)1⇒=Ft(ω)F[sgn]=2FF[u(t)]−[1]=+2(⎢⎥πδω)−2πδ(ω)=．⎣⎦jωjω2、位移性

8、质设F()ω=F[f(t)]，则(1)FF[(ftt±=)]e±jtω0[(ft)]；0(2)F−1[(Fωω∓)]=f(t)e±jω0t．0+∞+∞证明：（1）F[(ftt±=)]f(t±t)e−jωtdt=f()uue−j(ωut∓0)d（令tt±=u）00∫−∞∫−∞0+∞==e(±±jjωωtt00fuu)e−jωudeF[f(t)]；∫−∞−1j1+∞ωt1+∞j(ut±ω)（2）F[(FFω∓∓ωω)]=(ω)edω=Fu()e0du(令ωω∓=u)00∫−∞∫−∞02π2π1+∞=⋅e(±±jjωω00ttFu)ejutdu=ef(t)

9、．2π∫−∞(1)表明:时间函数f(t)沿t轴向左或向右位移t的傅氏变换等于f(t)的傅氏变换乘以因子之ejωt00或e−jωt0；(2)表明:频谱函数F(ω)沿ω轴向右或向左位移ω的傅氏逆变换等于原来的函数f(t)乘0以因子ejω0t或e−jω0t．利用位移性质可以推导一些常用的傅氏变换．如FF[(δδtt)]=⇒1[(−t)]=e−−jtω00⋅F[δ(t)]=ejtω；02FF[1]2=⇒πδω()[eejtωω00]=F[jt⋅1]2=πδ(ω−ω)；0eejtωω00+−jt1FF[cosωte]==[]()F[jtωω00]+F[e−jt

10、]0221=−[2πδω(ω)+2πδω(+ω)]=−π[(δωω)+δ(ω+ω)]00002例2【课后作业