拉氏变换及其性质

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1、第15章拉普拉斯变换15.9卷积定理15.1拉普拉斯变换15.2常用函数的拉普拉斯变换15.3拉普拉斯变换的基本性质15.5复频域中的电路定律、电路元件与模型15.6拉普拉斯变换法分析电路15.7网络函数15.8网络函数的极点和零点15.4拉普拉斯反变换本章重点本章重点.常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质.复频域中的电路定律.运算阻抗和运算导纳.拉普拉斯变换法分析电路的动态响应.网络函数.返回目录15.1拉普拉斯变换一、拉氏变换（Laplacetransformation）的定义（Laplacetransformation）（invers

2、eLaplacetransformation）f(t)和F(s)是一对拉普拉斯变换（Laplacepairs）对。记号ℒ[f(t)]表示取拉氏变换。ℒ-1[F(s)]表示取拉氏反变换。f(t)，t[0,)称为原函数（originalfunction），属时域（timedomain）。原函数f(t)用小写字母表示，如i(t)，u(t)。F(s)称为象函数（transformfunction），属复频域（complexfrequencydomain）。象函数F(s)用大写字母表示，如I(s)，U(s)。称为复频率（complexfrequency）。

3、积分下限从0开始，称为0拉氏变换。积分下限从0+开始，称为0+拉氏变换。当f(t)含有冲激函数项时，此项00+拉氏变换和0拉氏变换的区别：为了把0-0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变换定义式中积分下限从0-开始。二、拉氏变换存在条件不同的f(t)，0的值不同，称0为复平面s内的收敛横坐标。0j0收敛坐标收敛轴收敛区电工中常见信号为指数阶函数，即由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论中一般不再写出其收敛范围。返回目录=115.2常用函数的拉普拉斯变换ℒℒℒℒℒℒℒℒℒℒ1f1(t)e-tt0例求图示两个函数的拉

4、氏变换式1f2(t)e-tt0解由于定义的拉氏变换积分下限是0－，两个函数的拉氏变换式相同当取上式的反变换时，只能表示出区间的函数式返回目录ℒ-115.3拉普拉斯变换的基本性质一、线性（linearity）性质ℒℒℒ例1ℒ例2ℒ例3ℒℒ二、原函数的微分（differentiation）ℒℒℒ例1ℒℒ例2ℒℒ三、原函数的积分（integration）例ℒℒℒℒℒ四、时域平移（timeshift）f(t)(t-t0)tt00tf(t-t0)(t-t0)t00f(t)(t)t0f(t)(t)f(t-t0)(t-t0)平移f(t)(t-t0)不

5、是平移ℒℒ例1求图示函数的拉氏变换式例2求图示函数的拉氏变换式1Ttf(t)0TTf(t)0例3周期函数（periodicfunction）的拉氏变换。设f1(t)为第一个周期的函数，...tf(t)1T/2T0ℒℒℒ五、复频域平移（frequencyshift）ℒℒ六、初值(initial-value)定理和终值(final-value)定理初值定理若ℒ[f(t)]=F(s)，且f(t)在t=0处无冲激，则例1例2例3终值定理f(t)及其导数f(t)可进行拉氏变换，且，则ℒℒℒ例1例2例3返回目录ℒℒ15.4拉普拉斯反变换一、由象函数求原函数（2

6、）经数学处理后查拉普拉斯变换表象函数的一般形式：二、将F(s)进行部分分式展开（partial-fractionexpansion）f(t)=L-1[F(s)]（1）利用公式较麻烦等式两边同乘(s-s1)=0ki也可用分解定理求等式两边同乘（s-si）应用洛比达法则求极限例1例2用分解定理例3m>n，用长除法，得k1,k2也是一对共轭复数。假设只有两个根可据前面介绍的两种方法求出k1,k2。设例法一：部分分式展开，求系数。法二：将F2(s)改写为(s＋)2+2等式两边乘例1例2等式两边乘一般多重根情况返回目录一、电路元件的运算形式（operato

7、rform）电阻Ru=Ri15.5复频域中的电路定律、电路元件与模型+u-i(t)R+U(s)-I(s)R取拉氏变换电感LiL+uL-L+-sLUL(s)IL(s)-+取拉氏变换sL+-UL(s)IL(s)电容C+uC-iCIC(s)1/sCuC(0-)/sUC(s)+--+1/sCCuC(0-)IC(s)UC(s)-+取拉氏变换互感M取拉氏变换ML1L2i1i2+u1-+u2-+U2(s)-+-I1(s)sL1sL2sM+-++--U1(s)I2(s)+-受控电源+-U1(s)+-RI1(s)U1(s)+-U2(s)+u1-+u2-Ri1u1+

8、-二、电路定律的运算形式+u-iRLC设电路无初始储能+U(s)-I(s)RsL1/sC运算形式的欧姆定律运