拉氏变换定义,性质

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1、第四章拉氏变换与S域分析拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏逆变换；S域分析系统函数零极点∽时域特性和稳定性系统函数零极点∽频响特性；拉氏变换∽傅里叶变换iv)卷积相乘，建立系统函数的概念ii)微积分乘除法，微分方程代数方程§4.1拉氏变换定义、拉氏变换性质一、拉氏变换1．引言iii)指数、超越初等函数i)同时给出特解和齐次解，初始条件自动包含在变换式中v)零极点时域、频响、稳定性，零、极点分析的概念①赫维赛德19世纪末算子法，依据拉普拉斯著作，重新定义②适用：连续线性时不变系统③作用：简便变换线性时不变系统时域模型分析步骤：时域-复频域-时域2．傅里叶变换拉氏变换i)通常为因果信号①若,

2、则ii)不绝对可积，但容易满足绝对可积条件定义另一方面②傅立叶变换与拉氏变换基本区别不仅能描述振荡频率，也能反映振荡幅度的衰减或增长速率只能描述振荡重复频率复频域时域频域时域为复频率为频率为实数，为复数为实数iii)为单边拉氏变换对象函数原函数③双边拉氏变换：3．收敛问题②定义为何值，收敛：i)的取值范围对应的平面区域称为收敛域通常当时，ii)称为收敛坐标，平面中部分为收敛域例如，只有取，才使变为衰减0①含义：满足绝对可积的条件，即：单边拉氏变换，右边收敛坐标，收敛轴，收敛域0③时间有限的有界信号，收敛坐标位于－∞，收敛域整个s平面(，与无关)④有界非周期信号：收敛域至少为s右半平面

3、0⑤有界周期函数：，收敛域为s右半平面综上：单边拉氏变换收敛域形式为⑧比指数函数增长还快的信号，无拉氏变换：如⑥，收敛域为s右半平面，⑦指数信号：4．积分限问题0例：00£££①与的部分函数值无关②与问题：（定义方式）(定义方式)③本书用，优点是不必考虑跳变过程利用拉氏变换解微分方程时，可以直接利用已知的起始状态[例1]：求的单边拉氏变换：解：[例2]：已知£，££，求£解：：£：£其实：£＝££二、拉氏变换性质1．线性££，£[例3]：求①的拉氏变换（分a为实数和虚数两种情况）令a=0，则£，£解：①i)当a为实数£ii)设a为虚数，即则£②，的拉氏变换[例3]：求解：②££££[

4、例3]：求③的拉氏变换解：③££££2．时域微分i)对比ℱℱii)注意：本书采用②£①£££[例4]：电感的s域模型：若+－＋-证明：££3．时域积分比较ℱℱ£££££故：£或令：则：£[例5]：电容的S域模型+-＋－1sC4．频域微分证明：故：£££对比：ℱℱ[例6]：①求的拉氏变换(n为正整数)£££②求的拉氏变换解：①£££££②££5．频域积分证明：££对比ℱℱ)£[例7]：求的拉氏变换£解：£P181，表4-1，常用函数拉氏变换6.时移££对比ℱℱ证明：£与的拉氏变换不相等![例8]：求拉氏变换②②£①解：①[例9]：周期信号的拉氏变换设£，求解：£££7．S域平移££对比

5、ℱℱ证明：£[例10]：求的拉氏变换②££③££④££解：①££⑤£££⑥£££8．尺度变换，则££证明：£对比ℱℱ[例11]：£解：£££先尺度，后时移先时移，后尺度9．初值定理证明：£①若£，£存在，且F(s)为真分式则£，其中F1(s)为真分式，②若F(s)为假分式，令P(s)为多项式，则因为，③若F(s)中含延时因子，初值定理仍然成立，则因为[例12]：求初值②③③，即①解：，即①②10．终值定理证明：②条件：F(s)在s平面虚轴和右半平面解析（无极点），在原点处只允许一阶极点①若存在，£，£存在，则[例13]：求终值②③④⑤⑥解：②③不存在⑥不存在①①④⑤不存在首先应判断是

6、否满足终值定理的条件，然后再求解11．时域卷积②条件：比较ℱ无条件£，£①£证明：£12．S域卷积证明：£比较ℱ作业4-1(3)(6)(9)(12)(15)(18),4-2,4-3(3)(4),4-5,4-20,4-21Review拉氏变换的定义、收敛域性质:线性、时域微（积）分、频域微（积）分、时移、S域平移、尺度变换、初（终）值、卷积