单位脉冲函数及其傅氏变换

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1、7.2.2单位脉冲函数及其傅氏变换1.δ函数的定义在工程技术中,除了经常用到前面讲过的函数外,还经常用到单位脉冲函数.例如在原来电流为零的电路中,某一时刻进入一单位qt()电量的脉冲,1t=01电路中的电荷函数qt()=0t≠00t电路中的电流强度it()不可能用现有的函数表示出来为了确定电路中的电流强度,必须引进一个新的函数,这个函数称为狄拉克函数,简单记为δ函数.δ—函数是一个广义函数,它没有普通意义的函数值,但是它在工程技术中有非常重要的应用.在积分变换中,一些基本初等函数的象函数必须用δ函数表示1δ函数可以看成是δ型函

2、数序列的弱极限定义7.2在区间(,)−∞+∞具有如下性质的函数0tt≠0+∞δ()tt−=且∫−∞δ()tt−0dt=10∞tt=00tt<−ε称为δ函数0δ型函数序1t−<εt<+tε定义7.3δε()tt−0=00列2ε0tt>+ε+∞t0+ε10∫−∞δε()tt−0dt=∫t−ε2εdt=10如果对于任何一个无穷次可微的函数ft()都满足+∞+∞limε→0∫δε()tt−0ft()dt=∫δ()tt−0ft()dt−∞−∞则称δ()tt−的弱极限为δ函数,ε00•t也称为单位脉冲函数.t202.δ函数的性质

3、筛选性质对于任何一个无穷次可微的函数ft()+∞∫δ()t−t0ft()dt=ft()

4、t=t0=f()t0−∞+∞特别t0=0时∫δ()tft()dt=ft()

5、t=0=f(0)−∞+∞+∞ft()≡1时∫δ()tdt=1∫−∞δ()tt−0dt=1−∞证明根据定义+∞例如+∞∫δ()tcostdt=cos0+∞=1∫δ()tt−−∞ft()dt=limδ()tt−ft()dt−∞0+∞ε→0∫−∞ε02t+ε∫δ()t(t−2)dt=−20−∞∫ft()dtt0+ε1+∞t0−ε=lim∫ft()dt=lim罗必答法则ε→0t0

6、−ε2∫ε−∞δ()tsintdε→t0=02εft()0+∞+ε+−ftπ()0ε=lim=ft()ε→0∫δ()t2−sintdt=10−∞233.δ函数的傅氏变换+∞δ函数的筛选性质∫δ()t−t0ft()dt=ft()

7、t=t0=f()t0−∞δ()t−t的象函数0+∞ℱ[]δ()t−t=δ()t−t−itω−itω

8、=e−it0ω0∫−∞0edt=et=t0+∞−itω−itωit0ωℱ[]δ()t+t0=∫−∞δ()t+t0edt=e

9、t=−t0=e特别ℱ[]δ()t=1i5ω−i10ω例如ℱ[]δ()t+5=eℱ[]δ

10、(t−10)=e−i3ωℱ[]δ()t−3=eℱ[]δ()t=14153页9.(5)求函数1aaft()=[(δta+)+−δ()ta++δ()t+−δ(t)]222的傅氏变换itω解ℱ[]δ()t+t=e001aℱ[]ft()={ℱ[]δ()t+a+ℱ[]δ()t−a+ℱ[]δ()t+22a+ℱ[]}δ()t−2aa1−ωiω−iω=(eiaω+eia+e2+e2)2a=cosaω+cosω25δ()t的象函数ℱ[]δ()t=11+∞1的傅氏逆变换δ()t=∫1eiωtdω2π−∞1+∞−iωtδ()t是偶函数δ()−t=∫edω

11、=δ()t2π−∞+∞−iωt∫edω=2πδ()t−∞+∞−iωt∫edt=2πδω()−∞itωe0的象函数+∞+∞ℱ[]eitω0=eitω0e−itωdt=e−it()ωω−0dt=2πδ()ωω−∫−∞∫−∞0aa+∞−iωt补充公式1的象∫函数ft()ℱd[]t1==∫∫ft()e−ddtt=2πδω()−a−a−∞tx=−−aa∫fx()−(d)−x=∫fx()−dx6a−a复习−itωδ()t−t的象函数ℱ[]δ()t−t=e000itωδ()t+t的象函数ℱ[]δ()t+t=e000特别ℱ[]δ()t=1itω0i

12、tωe的象函数ℱ[]e0=2πδω()−ω0−itω0−itωe的象函数ℱ[]e0=2πδω()+ω0例如−it5=2πδω()+5ℱ[]eit10ℱ[]e=2πδω(−10)it3ℱ[]e=2πδω()−3ℱ[]1=2πδω()7正弦余弦的傅氏变换cosωt1eitω0+e−itω0)0=(21itω−itωsinωt=(e0−e0)02iitωℱ[]e0=2πδω()−ω0−itωℱ[]e0=2πδω()+ω0ℱ[]cosω0t=π[(δω−ω0)++δω(ω0)]ℱ[]sinω0t=−iπ[(δω−ω0)−+δω(ω0)]ℱ[

13、]cos5t=π[(δω−5)++δω(5)]ℱ[]sin2t=−iπ[(δω−2)−+δω(2)]ℱ[]cost=π[(δω−1)++δω(1)]ℱ[]sint=−iπ[(δω−1)−+δω(1)]8153页9(2)求函数ft()=