单位脉冲函数及傅里叶变换的性质

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1、复习：单位脉冲函数及其傅氏变换Fourier变换与逆变换的性质7.1.3单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不

2、能求导数的.如果我们形式地计算这个导数,则得这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克(Dirac)的函数,简单记成d-函数:有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.de(t)1/eeO工程上将d-函数称为单位脉冲函数。可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值.tOd(t)1d-函数有性质：二、d-函数的傅氏变换为:于是d(t)与常数1

3、构成了一傅氏变换对.证法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆变换可得例1证明：1和2pd(w)构成傅氏变换对.证法1：由上面两个函数的变换可得称这种方式的Fourier变换是一种广义的Fourier变换。在函数的Fourier变换中，其广义积分是根据函数的注性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件例4求正弦函数f(t)=sin

4、w0t的傅氏变换。tpp-w0w0Ow

5、F(w)

6、例5证明：证：7.2Fourier变换与逆变换的性质这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件.1.线性性质:2.位移性质:证明：推论：证明：例1解：3.相似性：证明：4.微分性：5.积分性：6.帕塞瓦尔(Parserval)等式实际上,只要知道下面五个傅里叶变换,则很多傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出.例2利用傅氏变换的性质求d(t-t0),例3若f(t)=cosw0t

7、u(t),求其傅氏变换。卷积定义：卷积的基本运算规律：一、卷积的定义及运算规律说明：例1求下列函数的卷积：解：例1求下列函数的卷积：由卷积的定义有二、卷积定理：（可用于化简卷积运算和傅氏变换）例2求的傅氏变换。作业习题十四12346