volterra系统hopf分岔控制研究

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1、第33卷第6期东北电力大学学报VnJ．33。No，62013年12月JournalOfNortheastDianiiUniversityDee．，2013文章编号：1005—2992(2013)06—0029—04Volterra系统Hopf分岔控制研究李鹏松，吕雪，盛桂全(东北电力大学理学院，吉林吉林132012)摘要：研究单参数Volterra系统的Hopf分岔控制。根据规范型理论，利用二次非线性控制器，将系统的亚临界Hopf分岔控制为超临界Hopf分岔，使系统产生稳定的极限环，并讨论了控制器增

2、益对极限环幅值的影响。理论分析和仿真结果一致，验证了所设计控制器的有效性。关键词：Voherra系统；亚临界Hopf分岔；超临界Hopf分岔；非线性控制中图分类号：0193文献标识码：A非线性动力系统分岔控制具有重要的理论研究和实际应用价值，在机械工程、航空航天工程、气象、电力工程及生物等领域有着广泛的应用。分岔控制的主要任务是设计控制器改变非线性系统的分岔特性，获得所需要的动力学行为，得到系统所需要的输出特性⋯。典型的分岔控制包括：将原系统固有的分岔行为延迟；转移或消除系统原有的分岔点；改变原非线

3、性系统的分岔类型；改变原系统极限环的幅值、频率等J。目前主要控制方法有谐波平衡法、多尺度法、线性和非线性状态反馈控制法、规范型方法和Washout．filter(高通滤波器)方法等等一。Hopf分岔是非线性动力系统的典型的动态分岔形式，与系统稳定性密切相关。Hopf分岔分为超临界Hopf分岔和亚I临界Hopf分岔。超临界Hopf分岔最终在分岔点处产生一个稳定极限环；亚临界Hopf分岔由一个不稳定的极限环收缩，稳定平衡点变为不稳定，引起不断增长的振荡。目前大多数文献设计的控制器主要是一次线性控制器和三

4、次非线性控制器。本文针对单参数V01一terra系统设计了二次非线性控制器，在不改变原系统平衡点及Hopf分岔点的前提下，将亚临界Hopf分岔控制为超临界Hopf分岔，并通过仿真分析验证了所设计控制器的有效性。1系统Hopf分岔类型考虑Voherra系统L8如下r1：1(1一o／x1—32+3)，{2=2(1+2x1一otx2—4x3)，(1)x3=3(1—71+52一3)，其中为分岔参数(>0)。系统(1)有正奇点尸(1／(Of+2)，1／(a+2)，1／(a+2))。当=1时，系统的Hopf分岔

5、点为(1／3，1／3，1／3)，在分岔点处的雅可比矩阵为：厂一1／3—11／3]J=I2／3—1／3—4／3l，L一7／35／3—1／3J雅可比矩阵．，的特征值分别为：A。=一1，A：．=±2i。根据中心流形理论可将系统降维，同时舍去系统的高阶项(只保留二阶项)，得到如下二维简化系统收稿日期：2013—07—10作者简介：李鹏松(1970一)，男，吉林省松原市人，东北电力大学理学院教授，博士，主要研究方向：非线性动力系统30东北电力大学学报第33卷2+tt=-~v+aubuv+cv’(2)／d⋯⋯⋯

6、～⋯．⋯⋯其中：2，0=1．0943，b=一2．2147，c=0．8284，d=2．8918，e=一8．3311，f=1．3525．利用后继函数判别法，可得后继函数为r(2~-，s)一r(0，)=一。(一bc—cd一2dg+2be++)+⋯．由r(2~r，)一r(0，)>0，可以判定平衡点(0，0)是系统(2)的不稳定焦点。再由Hopf分岔理论可知，系统(1)在分岔点处发生亚临界Hopf分岔]。图1和图2为系统(1)在分岔点邻域受扰后的Matlab数值仿真结果。由图1可以看出，随着时间t的增加作增幅

7、振荡，(，，随着时间t的增加也作增幅振荡)。可见原系统在分岔点处发生亚临界Hopf分岔。图1，一t仿真曲线图22一1的平面相轨迹2系统Hopf分岔控制=，(1一一32+3)，【：一＆，厂0．23501—0．217210—0．37796-]I一0．51275—0．163800—0．37796Il00．701470—0．37796l0．330110．0825310．75593—0．500Oy1Q。(Y)yl●002OY2)，2Q()，)●+(4)Y30—2O0Y3Q，(Y)●Y400O一1JLy4Q(Y

8、)其中，Q(Y)(i=1，2，3，4)为Y，Y：，Y3，Y，，k的非线性函数。根据规范型理论，计算系统(4)的Hopf分岔稳定性指标2R{+(5)第6期李鹏松等：Volterra系统Hopf分岔控制研究31g如=÷一+2+一一2))，glI=÷+等¨＼oa2Q3+一aye3,U¨，’g眈=丢(＼一等一2盟O一Y20Y3+¨(I、一O2Q3+2煎一OY20y3))，=(+++o3Q3+03Q3一03Q2一))，1。=(o2Q2++(一))，=丢(++(一))，o2Q3o