非特殊角的三角函数式求值的解法.doc

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1、非特殊角的三角函数式求值的解法　　摘要：三角函数的求值问题是三角变换中的一个重要内容，也是历年高考和高中数学联赛考查的重点内容，其中非特殊角的三角函数式的求值更是屡见不鲜，除了灵活运用三角函数公式进行变换外，还需要了解一些常用的解法和技巧，从而提高解题的效果。　　关键词：三角函数式非特殊角解法　　中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1003-9082（2014）06-0214-01　　三角函数是高中数学的重要组成部分，其中三角函数的求值问题是三角变换中的一个重要内容，主要有三种类型，即非特殊角的三角函数式求值、未知角的三角函数式求值、解三角形求值，解决这类问题，需要熟练掌握三角

2、函数的公式及其变形，同时还需要运用一定的方法和技巧，才能迅速、准确的化简求值。本文主要例析几道题的解法，来体会非特殊角的三角函数式求值的常用策略。　　一、消　　如果三角函数式为整式，通过认真分析题设条件，利用三角函数公式进行变换，尽量减少角的种类，往往可“消”去非特殊角的三角函数。　　例1.（2006江苏）_______　　解析：原式　　二、约　　如果三角函数式为分式，或者通过“切割化弦”化为分式，通过分析题设条件，挖掘非特殊角和某特殊角的联系，向特殊角转化，然后通过三角函数公式进行变换后，分式上下可以“约”去公因式。　　例2.（2013重庆理）（）　　A.B.C.D.　　解析：原式　

3、　三、配　　如果三角函数式的外形和三角函数公式比较“相似”，则可以通过分析式子的结构，将部分非特殊角的三角函数式“配”成公式，再进行化简。对所学的三角函数公式，我们不仅要会正用，还要会逆用和变形使用。　　例3.求的值。　　解析：，　　原式　　四、降次　　如果遇到高次的非特殊角的三角函数式的求值问题，先认真分析式子的结构，再用：，，，　　等降次公式进行化简。　　例4.求的值。　　解析：原式　　五、构造互余对偶式　　在非特殊角的三角函数式的求值中，若能运用对偶的数学思想，恰当的构造出互余对偶式，并将其与原式进行和、差或积的运算，往往能巧妙地化简。这样不仅能提高解题速度，开阔学生的视野，激发

4、学生的学习数学的兴趣，还能从中感受到数学中的对称美。　　例5.求的值。　　解析：设，构造互余对偶式　　所以　　又因为，故，。　　即。　　六、构造三角形　　数学是研究空间形式和数量关系的科学，“数”与“形”以及它们的联系和相互转化是数学研究永恒的主题。数形结合是中学数学中重要的思想方法之一，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。著名数学大师华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休”，这句话也足以说明其绝妙之处。通过构造三角形，从“数”与“形”两方面对三角函数问题进行研究，既充分发挥形的直观性，又充分体现数的严谨性，是优化解题过程的重要途径之一。　　例6.（2013重庆理）（）　

5、　A.B.C.D.　　解析：如图1，构造直角三角形ABC，使，，，，则　　。在的延长线上取一点D，使，则，，　　。在三角形中，由正弦定理得：　　非特殊角的三角函数式的求值，需要熟悉三角函数同角的基本关系式、倍角公式、两角和、差公式、辅助角公式等基本公式的基础上，巧妙地利用转化、对偶、数形结合等常用的数学思想，加上一些适当的解题技巧，以及一些综合分析、解决问题的能力，问题便能迎刃而解。　　作者简介：陈健，男，21岁，重庆师范大学数学学院学生，2011级数学与应用数学专业。