三角函数对偶式求值.doc

《三角函数对偶式求值.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、对偶式求值1类似例一、已知cosα﹣cosβ=，sinα﹣sinβ=，则cos（α﹣β）=　　．分析：对已知条件cosα﹣cosβ=，sinα﹣sinβ=两边平方再相加即可得到答案．解答：解：∵（cosα﹣cosβ）2=，（sinα﹣sinβ）2=．两式相加，得2﹣2cos（α﹣β）=．∴cos（α﹣β）=．故答案为：点评：本题主要考查两角和与差的余弦公式．例二、已知，，则tanαtanβ=　　．分析：利用两角和与差的余弦函数展开，求出cosαcosβ=，sinαsinβ=，然后求出tanαtanβ的值．解答：解：∵cos（=，∴cosαcosβ

2、+sinαsinβ=，①∵cos（α+β）=，∴cosαcosβ﹣sinαsinβ=，②从①②两式中解得：cosαcosβ=，sinαsinβ=，两式相除得∴tanαtanβ=．故答案为：．点评：本题主要考查两角和与差的余弦函数、同角公式等，应用公式要抓住公式结构特征，掌握运算、化简的方法和技能．好题、若，则sinβcosα的取值范围是　[﹣]　．分析：由sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+sinβcosα，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣sinβcosα，sin（α+β）sin（α﹣β）∈[﹣1，1]

3、，知﹣1+sinβcosα≤1，由此能导出sinβcosα．解答：解：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+sinβcosαsin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣sinβcosαsin（α+β）sin（α﹣β）∈[﹣1，1]﹣1+sinβcosα≤1﹣≤sinβcosα，﹣1﹣sinβcosα≤1﹣sinβcosα，sinβcosα，所以sinβcosα．故答案为：[﹣]．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的恒等变换．好题、已知sinαcosβ=，则cosαsinβ的取

4、值范围是　[﹣，]　．分析：可设所求cosαsinβ=x，与已知的等式sinαcosβ=相乘，利用二倍角的正弦函数公式的逆运算化简为sin2α•sin2β=2x后，根据三角函数的值域的范围得到关于x的不等式，求出解集即可得到cosαsinβ的范围解答：解：设x=cosα•sinβ，sinα•cosβ•cosα•sinβ=x，即sin2α•sin2β=2x．由

5、sin2α•sin2β

6、≤1，得

7、2x

8、≤1，∴﹣≤x≤．故答案为：[﹣，]．点评：考查学生灵活运用二倍角的三角函数公式化简求值，会根据三角函数的值域范围列出不等式．本题的突破点就是根据值域

9、列不等式．对偶式求值2练习（1）已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ,cosα-cosγ=cosβ,求α-β的值.解:∵sinα-sinβ=-sinγ,①cosα-cosβ=cosγ,②①2+②2得cos(α-β)=,∵sinβ-sinα=sinγ＞0,∴sinβ＞sinα.∴α＜β.∴-＜α-β＜0.∴α-β=-.类似练习1已知α、β、γ∈(0,),sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,求β-α的值.解：由已知,得sinγ=sinβ-sinα,cosγ=cosα-cosβ.平方相加得(sinβ-sinα)2+

10、(cosα-cosβ)2=1.∴-2cos(β-α)=-1.∴cos(β-α)=.∴β-α=±.∵sinγ=sinβ-sinα＞0,∴β＞α.∴β-α=.类似练习1、已知α，β，γ∈（0，），且sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，则α﹣β的值等于（　　）分析：把已知的两等式分别移项，使关于γ的三角函数移项到等式右边，根据α，β，γ的范围得到β大于α，然后把化简后的两等式两边分别平方后，相加并利用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简后，得到cos（α﹣β）的值，根据α与β的范围及β大于α，得到α﹣β小于0，利用

11、特殊角的三角函数值即可求出α﹣β的值．解答：解：sinβ﹣sinα=sinγ＞0，cosα﹣cosβ=cosγ＞0，则（sinβ﹣sinα）2+（cosα﹣cosβ）2=1，且β＞α，即cos（α﹣β）=（0＜α＜β＜），则α﹣β=﹣．点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时应根据已知条件判断出β＞α，进而得到α﹣β的值为负数．类似练习1、已知α、β、γ∈（0，），sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，求β﹣α的值．分析：由已知首先消去γ的正余函数，再利用和差

12、化积公式进一步化简，求出β﹣α．解答：解：由已知，得sinγ=sinβ﹣sinα，cosγ=cosα﹣cosβ．平方相加得（sinβ﹣s