高考文科数学不等式选讲考点精细选.doc

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1、不等式选讲考点精细选一、知识点整合：1．含有绝对值的不等式的解法(1)

2、f(x)

3、>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)

4、f(x)

5、0)⇔－a

6、x－a

7、＋

8、x－b

9、≤c，

10、x－a

11、＋

12、x－b

13、≥c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质

14、a

15、－

16、b

17、≤

18、a±b

19、≤

20、a

21、＋

22、b

23、.3．柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．nnna1a2an(2)若a*222i，bi(i∈N)为实数，则(∑ai)(∑bi)≥(∑aibi)，当且

24、仅当＝＝…＝(当i＝1i＝1i＝1b1b2bn某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n)时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则

25、α

26、·

27、β

28、≥

29、α·β

30、，当且仅当这两个向量共线时等号成立．4．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．练习精细选1．若关于实数x的不等式

31、x－5

32、＋

33、x＋3

34、

35、x－5

36、＋

37、x＋3

38、＝

39、5－x

40、＋

41、x＋3

42、≥

43、5－x＋x＋3

44、＝8，∴(

45、x－5

46、＋

47、x＋3

48、)min＝8，要使

49、x－5

50、＋

51、x＋3

52、

53、需a≤8.2．(2013·江西)在实数范围内，不等式

54、

55、x－2

56、－1

57、≤1的解集为________．答案[0,4]解析由

58、

59、x－2

60、－1

61、≤1得－1≤

62、x－2

63、－1≤1，

64、x－2

65、≥0解得0≤x≤4.

66、x－2

67、≤2∴不等式的解集为[0,4]．3．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．答案2解析由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(am·an＋bmbn)2＝mn(a＋b)2＝2.4．若不等式

68、kx－4

69、≤2的解集为{x

70、1≤x≤

71、3}，则实数k＝________.答案2解析∵

72、kx－4

73、≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x

74、1≤x≤3}，∴k＝2.11x2＋＋4y25．设x，y∈R，且xy≠0，则y2·x2的最小值为________．答案911x2＋＋4y21解析y2x2＝5＋＋4x2y2x2y21≥5＋2·4x2y2＝9，x2y21当且仅当x2y2＝时“＝”成立．2三、典型题型分析题型一含绝对值的不等式的解法例1已知函数f(x)＝

75、2x－1

76、＋

77、2x＋a

78、，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)－1，且当x∈22时，f(x)≤

79、g(x)，求a的取值范围．a1－，审题破题(1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x∈22时去绝对值，利用函数最值求a的范围．解(1)当a＝－2时，不等式f(x)

80、2x－1

81、＋

82、2x－2

83、－x－3<0.设函数y＝

84、2x－1

85、＋

86、2x－2

87、－x－3，1－5x，x<，2则y＝－x－2，1≤x≤1，23x－6，x>1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0，所以原不等式的解集是{x

88、0－1，则－<，22∴f(x)＝

89、2x－1

90、＋

91、2x＋a

92、a1－，当x∈22时，f(x)＝a＋1，a1－，即a＋1≤x＋3在x∈22上恒成立．a4

93、∴a＋1≤－＋3，即a≤，234－1，∴a的取值范围为3.点评：这类不等式的解法是高考的热点．(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．变式训练1已知函数f(x)＝

94、x＋1

95、＋

96、x－2

97、－m.(1)当m＝5时，求f(x)>0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围．解(1)由题设知

98、x＋1

99、＋

100、x－2

101、>5，不等式的解集是以下三个不等式

102、组解集的并集：x≥2，－1≤x<2，x<－1，或或x＋1＋x－2>5x＋1－x＋2>5－x－1－x＋2>5，解得函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2)不等式f(x)≥2即

103、x＋1

104、＋

105、x－2

106、>m＋2，∵x∈R时，恒有

107、x＋1

108、＋

109、x－2

110、≥

111、(x＋1)－(x－2)

112、＝3，不等式

113、x＋1

114、＋

115、x－2

116、≥m＋2解集是R，∴m＋2≤3，m的取值范围是(－∞，1]．题型二不等式的证明例2已知函数f(x)＝m－

117、x－2

118、，m∈R，且f(x＋2)