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1、三角形解题中的数学思想方法例析 数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现,是形成数学能力、数学意识的桥梁,是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此,在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用. 一、分类讨论思想 当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况分别来讨论，得出各种情况下相应的结论的处理问题的思维方法。例如三角形的分类： ①按边分： ②按角
2、分： 例1 已知等腰三角形的周长为21㎝，两条边长之差为3㎝，求各边的长。 分析 已知两边之差为3㎝，则较长的边有可能是腰也有可能是底，故应分两种财政部进行进行讨论。 解：设腰长为㎝，①当较长边为腰时，则有，解得。 此时三边长分别为8㎝，8㎝，5㎝。符合题意。 ②当较长边为底时，则有，解得。 此时三边长分别为6㎝，6㎝，9㎝。符合题意。 所以三边为8㎝，8㎝，5㎝或6㎝，6㎝，9㎝。 例2 在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm两部分，求三角形各边的长.ACBD图1 分析:要注意等腰
3、三角形有两边相等,一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为15cm,哪一段为6cm,故需分类讨论. 解:设腰长为xcm,底边为ycm,即AB=x,则AD=CD=x,BC=y ⑴若x+x=6时,则y+x=15. 由x+x=6得x=4.把x=4代入y+x=15得y=13. 因为4+4<13,所以不能构成三角形. ⑵若x+x=15时,则y+x=6. 由x+x=15得x=10.把x=10代入y+x=15得y=1. 10+1>10符合题意,所以三角形三边分别为10cm、10cm、1cm. 例3
4、已知非直角三角形ABC中,∠A=45°,高BD和CE所在直线交于H,求∠BHC的度数.图2ABCDHE 分析:三角形的形状不同,高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部,也可能在三角形外部,故应分两种情况加以讨论. 解:⑴当△ABC为锐角三角形时(图2) ∵BD、CE是△ABC的高,∠A=45°,∴∠ADB=∠BEH=90°. 在△ABD中,∠ABD=180°-90°-45°=45°.ABDHCE图3 ∵∠BHC是△BHE的外角,∴∠BHC=90°+45°=135°. ⑵当△ABC为钝角三角形时(图3
5、) ∵H是△ABC两条高所在直线的交点∠A=45°, ∴∠ABD=180°-90°-45°=45°. 在Rt△BEH中,∠BHC=180°-90°-45°=45°. ∴∠BHC的度数是135°或45°. 注意：涉及三角形高的问题,常常会因为高的位置而需要讨论,否则就会漏解. 二、方程思想 运用列方程的方法来解决与图形有关的计算问题是十分有效的手段。 例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的3倍，且它的每一个内角都相等，求这个多边形各角的度数。 解析 由于内角和等于外角和的3倍，可求出内角和，根据内角
6、和反求出边数是解本题的关键；通过列方程来求解是解此类问题的一般方法。 解：设这个多边形的边数为，则有，解得。所以每内角的度数为，或每外角的度数为所以每内角的度数为。 例5 如图4,在△ABC中,∠B=∠C，∠1=∠2，∠BAD=40°.求∠EDC. 分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于∠EDC的方程.CABDE12x图4 解:设∠EDC=x. 因为∠1是△DEC的外角,所以∠1=x+∠C. 又因为∠1=∠2,所以∠2=x+∠C. 又因为∠2是△ABD的外角,所以∠ADC=∠B+∠BAD. 所以∠B+∠
7、BAD=∠2+x,即∠B+40°=∠C+2x. 因为∠B=∠C,所以2x=40°,解得x=20°. 评注:方程是解决很多数学问题的重要工具,很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上,用设未知数的方法表示所求,可使计算过程书写简便,也易于表明角与角之间的关系. 三、转化与化归思想 转化与化归思想是中学数学中常见的一种数学思想方法，它的应用十分广泛，我们在解决数学问题时，经常运用转化与化归的思想，将复杂问题转化成简单的问题，将未知转化为已知，将生疏的问题转化为熟悉的问题等等。例如在本章中多边形的内角和公式和外角和公
8、式都是通过将多边形转化成三角形来解决的。大家可以观察下面例子。 例6 如图5，一艘货轮在A处看见巡逻艇M在其北偏东620的方向上，此时一艘客轮在B处看见巡逻艇M在其北偏东130的方向上，此时从巡逻艇上看这两艘轮船的视角∠AMB有多大？ 分析 F、B、M的连线构成△FBM，所求的∠AMB是△FBM的一个内角，如果能
