数学错解的主要类型及例析

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1、《数学错解的主要类型及例析》孙建克数学错解的主要类型及例析北白象镇中学孙建克【内容提要】解数学题时，如果概念、定义理解不清；定理、公式、法则不注意它的适用范围；方法、技巧不考虑它的使用条件，那么在解题中就必定要出现判断错误，就会产生数学错解。本文通过阐明产生数学错解的原因及相关的典型例题分析，得出数学错解的主要七大类型。旨在帮助同学们总结经验教训，防止今后再发生类似错误。【关键词语】数学解题数学错解错解原因错解类型错解例题学习数学必须解题。当今著名的数学家、教育家G波利亚指出：掌握数学就是意味着解题。解答数学问题离不开概念、定义、定

2、理、公式、法则以及方法、技巧等等，如果概念、定义理解不清；定理、公式、法则不注意它的适用范围；方法、技巧不考虑它的使用条件，那么在解题中就必定要出现判断错误。这实际上就是违背了数学学科的“科学性、严密性和完整性”。因此从广义上理解凡是违背此“三性”的解题过程及结果统称为数学题的错解，简称数学错解（本文简称“错解”）。学习数学的过程中，出现一些解题失误是不可避免的。常言说：“失败乃成功之母”，“错误往往是正确的先导”，对同学们来说，重要的是如何正确对待自己的失误。一道题做错了，首先要认真分析错在哪里，其次要反省自己为什么会出现这种错误

3、，从中找出原因，吸取教训，防止今后再发生类似错误。下面结合本人的教学实践和经验从七方面论述错解原因、错解例题和错解类型，以供同学们参考。一、模糊数学概念产生错解中学数学教学大纲中指出：“正确理解数学概念是掌握基础知识的前提”这表明了数学概念在学习中的重要性。然而，不少同学对此认识不足，认为基本概念单调乏味没什么好学的，因此学习时不求甚解轻易放过。这样势必造成对某些概念只知其表不知其里；只重形式，不重实质；摸棱两可，似是而非。正是如此而在解题中常常暴露出这样那样的差错。下面的例子可以说明问题。例1为何值时，分式的值是正整数。错解要使分

4、式的值是正整数，只要它的分母的值为、、即可。当时，求得，；当时，求得；当时，求得，。所以，只当分别取，，，，，等实数时，分式的值是正整数。分析取代入原分式中，得出该分式的值为就是正整数。这说明原解答不完整，还有遗漏。其失误原因在于混淆“整数整除”与“两个实数相除得整数”这两个概念。原题并没有要求分母是整数，因此，只要令（第6页（共6页）《数学错解的主要类型及例析》孙建克是自然数）再求出的值就完整了。正解令（是任意自然数）则解得，（）所以，当（）时，原分式的值是正整数。二、混淆充要条件产生错解一道数学题一般地可分为题设和结论两部分，解

5、题常从两方面考虑：一是从已知条件出发，结合学过的定义、定理、公式、法则等基础知识，通过演算和推理得到结论；另一方面也可以从结论出发逆推至题设条件。不论从已知出发还是从结论出发，在进行推理、演算过程中，必须时刻留心每一步的依据是什么，理由是否充分或必要，尤其逆推时要注意步步可逆，即注意条件的充要性。倘若在推理过程中忽视或混淆了条件所允许的范围，这就可能造成失误。比如下面的例题就可以说明此问题。例2已知，，求的值。错解由已知可得是方程的两个根。所以，由韦达定理知：，于是，分析方程的判别式的值是，故它有两相异实根。若，是该方程的两个根，则

6、除了有，成立外，还有这个隐含条件。因为已知条件中没有告诉我们，所以“，”仅仅是“，是方程的两个根”的必要条件而不是充分条件。上述解答中将必要条件当做充分条件使用，结果无形中缩小了已知条件中，所能允许的取值范围，从而导致其结论不完整。正解（1）当时，结合已知条件可知，是方程的两个根。所以，由韦达定理知：，。于是，（2）当时，。（3）当时，第6页（共6页）《数学错解的主要类型及例析》孙建克三、忽视隐含条件产生错解有些数学题目除了给出的明显条件外，常常在题设或题断的字里行间或式子中隐藏着某些事实，我们称这样的暗藏事实为隐含条件。隐含条件在

7、解题中容易被忽视，其后果轻则得出结论有漏洞，重则面目全非。数学题目中的隐含条件的反映形式是多种多样的，通常可以从概念定义中的某些特殊规定、公式定理法则和性质中的某些特定限制、题目的结构特征和数字图形特征等四个方面来挖掘。例3就是忽视概念定义中的隐含条件而产生错解的。例3将中根号外的因式移至根号内。错解。分析上述错解误把当做非负因式移到根号内。实际上本题中包含着两个隐含条件：“二次根号下的被开方式为非负数”和“分式的分母不为零”，故有得，应先将变为，再将正因式移到根号内。正解，。因此，。四、遗漏添加条件产生错解有些同学在解题时不考虑题

8、给条件是否都用上了或者不考虑所用条件是否都是题目中给定的（含隐含条件），表现在解题时常常遗漏某个条件限制或随意地凭主观想象外加一些条件，其后果必然是出现偏差甚至答案完全错误。请看例4和例5。例4非负数，，适合关系式，求的最小值。错解令